xe^x/{a^2e^x-(a^2-b^2)}(1/√e^x-1)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^x}{a^2e^x-(a^2-b^2)} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^x-1}}dx=\frac{2π}{ab} \log \left(1+\frac{b}{a}\right)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^x}{a^2e^x-(a^2+b^2)} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^x-1}}dx=\frac{2π}{ab}\tan^{-1} \frac{b}{a}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)











<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (a^2+b^2x^2)}{c^2+g^2x^2}dx=\frac{π}{cg}\log \frac{ag+bc}{g}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (a^2+b^2x^2)}{c^2-g^2x^2}dx=-\frac{π}{cg}\tan^{-1} \frac{bc}{ag}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b,c,g \gt 0\)





\((1)(2)\) のどちらも \(\sqrt{e^x-1}=t\) と置きます。このとき$$e^x-1=t^2,  e^x=1+t^2,  x=\log (1+t^2),  dx=\frac{2t}{1+t^2}dt$$となるので、これらを代入します。


\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^x}{a^2e^x-(a^2-b^2)} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^x-1}}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1+t^2)\log (1+t^2)}{a^2t^2+b^2} \cdot \frac{1}{t} \cdot \frac{2t}{1+t^2}dt\\
&=2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (1+t^2)}{b^2+a^2t^2}dt\\
\end{alignat}\((A)\) の式で \(a\) を \(1\)、\(b\) を \(1\)、\(c\) を \(b\)、\(g\) を \(a\) とすれば、上記の積分であるから$$=2 \cdot \frac{π}{ab}\log \frac{a+b}{a}=\frac{2π}{ab} \log \left(1+\frac{b}{a}\right)$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^x}{a^2e^x-(a^2-b^2)} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^x-1}}dx=\frac{2π}{ab} \log \left(1+\frac{b}{a}\right)$$







\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^x}{a^2e^x-(a^2+b^2)} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^x-1}}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1+t^2)\log (1+t^2)}{a^2t^2-b^2} \cdot \frac{1}{t} \cdot \frac{2t}{1+t^2}dt\\
&=-2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (1+t^2)}{b^2-a^2t^2}dt\\
\end{alignat}\((B)\) の式で \(a\) を \(1\)、\(b\) を \(1\)、\(c\) を \(b\)、\(g\) を \(a\) とすれば、上記の積分であるから$$=-2 \left(-\frac{π}{ab}\right)\tan^{-1} \frac{b}{a}=\frac{2π}{ab}\tan^{-1} \frac{b}{a}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^x}{a^2e^x-(a^2+b^2)} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^x-1}}dx=\frac{2π}{ab}\tan^{-1} \frac{b}{a}$$


コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です