xexp(x-μe^x)[-∞,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \exp(x-μe^x)dx=-\frac{1}{μ}(γ+\log μ)\\
&(2) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \exp(x-μe^{2x})dx=-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{μ}}(γ+\log 4μ)
\end{alignat}ただし、全て \(μ \gt 0\) 









<証明>

\((1)\) 次のように求める定積分を \(I\) と置きます。$$I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \exp(x-μe^x)dx$$\(e^x=t\) と置きます。\((e^xdx=dt\))$$=\displaystyle\int_0^{\infty} (\log t)te^{-μt} \cdot \frac{1}{t}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} (\log t) e^{-μt}dt$$次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^a e^{-μt}dt$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} (\log t)t^a e^{-μt}dt$$\(a=0\) のとき$$I’(0)=\displaystyle\int_0^{\infty} (\log t) e^{-μt}dt$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(μt=s\) と置きます。\((μdt=ds)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^a e^{-μt}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{s}{μ}\right)^a e^{-s} \cdot \frac{1}{μ}ds\\
&   =\frac{1}{μ^{a+1}}\displaystyle\int_0^{\infty} s^ae^{-s}ds=\frac{Γ(a+1)}{μ^{a+1}}\\
\end{alignat}\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\frac{Γ’(a+1)μ^{a+1}-Γ(a+1)(\log μ)μ^{a+1}}{μ^{2a+2}}$$\(a=0\) のとき$$I’(0)=\frac{Γ’(1)μ-Γ(1)(\log μ)μ}{μ^2}=\frac{-γ-\log μ}{μ}=-\frac{1}{μ}(γ+\log μ)$$以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \exp(x-μe^x)dx=-\frac{1}{μ}(γ+\log μ)$$







\((2)\) 次のように求める定積分を \(I\) と置きます。$$I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \exp(x-μe^{2x})dx$$\(e^x=t\) と置きます。\((e^xdx=dt\))$$=\displaystyle\int_0^{\infty} (\log t)te^{-μt^2} \cdot \frac{1}{t}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} (\log t) e^{-μt^2}dt$$次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^a e^{-μt^2}dt$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} (\log t)t^a e^{-μt^2}dt$$\(a=0\) のとき$$I’(0)=\displaystyle\int_0^{\infty} (\log t) e^{-μt^2}dt$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(μt^2=s\) と置きます。\((2μtdt=ds)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^a e^{-μt^2}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{s}{μ}\right)^{\frac{a}{2}} e^{-s} \cdot \frac{1}{2\sqrt{sμ}}ds\\
&   =\frac{1}{2μ^{\frac{a+1}{2}}}\displaystyle\int_0^{\infty} s^{\frac{a-1}{2}}e^{-s}ds=\frac{1}{2μ^{\frac{a+1}{2}}}Γ\left(\frac{a+1}{2}\right)\\
\end{alignat}\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}Γ’\left(\frac{a+1}{2}\right)μ^{\frac{a+1}{2}}-Γ\left(\frac{a+1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}(\log μ)μ^{\frac{a+1}{2}}}{μ^{a+1}}$$\(a=0\) のとき
\begin{alignat}{2}
&I’(0)=\frac{1}{4} \cdot \frac{Γ’\left(\frac{1}{2}\right)μ^{\frac{1}{2}}-Γ\left(\frac{1}{2}\right) (\log μ)μ^{\frac{1}{2}}}{μ}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{μ}}\left\{ψ\left(\frac{1}{2}\right)-(\log μ)\right\}\\
&    =\frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{μ}}(-2 \log 2-γ-\log μ)=-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{μ}}(γ+\log 4μ)
\end{alignat}
以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \exp(x-μe^{2x})dx=-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{μ}}(γ+\log 4μ)$$

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