(x^{μ-1}/(1-ax)-x^{-μ}/(a-x))[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^{μ-1}}{1-ax}-\frac{x^{-μ}}{a-x}\right)dx=πa^{-μ}\cot μπ\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^{μ-1}}{1+ax}+\frac{x^{-μ}}{a+x}\right)dx=πa^{-μ}\csc μπ\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0,\,0 \lt μ \lt 1\)







<証明>

$$(1)  \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^{μ-1}}{1-ax}-\frac{x^{-μ}}{a-x}\right)dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}}{1-ax}dx-\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{-μ}}{a-x}dx$$\((A)\) 左の積分について \(ax=t\) と置きます。\((adx=dt)\)$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}}{1-ax}dx=\displaystyle\int_0^a \frac{\left(\frac{t}{a}\right)^{μ-1}}{1-t} \cdot \frac{1}{a}dt=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_0^a \frac{t^{μ-1}}{1-t}dt$$\((B)\) 右の積分について \(x=as\) と置きます。\((dx=ads)\)$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{-μ}}{a-x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{1}{a}} \frac{(as)^{-μ}}{a-as} \cdot ads=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_0^{\frac{1}{a}} \frac{s^{-μ}}{1-s}ds$$さらに \(\displaystyle s=\frac{1}{r}\) と置きます。\(\displaystyle \left(ds=-\frac{1}{r^2}dr\right)\)$$=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_{\infty}^a \frac{r^μ}{1-\frac{1}{r}}\cdot \left(-\frac{1}{r^2}\right)dr=-\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{r^{μ-1}}{1-r}dr$$となるので、元の積分計算は
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^{μ-1}}{1-ax}-\frac{x^{-μ}}{a-x}\right)dx&=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_0^a \frac{t^{μ-1}}{1-t}dt+\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{r^{μ-1}}{1-r}dr\\
&=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{μ-1}}{1-t}dt=πa^{-μ}\cot μπ
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^{μ-1}}{1-ax}-\frac{x^{-μ}}{a-x}\right)dx=πa^{-μ}\cot μπ$$







$$(2)  \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^{μ-1}}{1+ax}+\frac{x^{-μ}}{a+x}\right)dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}}{1+ax}dx+\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{-μ}}{a+x}dx$$\((A)\) 左の積分について \(ax=t\) と置きます。\((adx=dt)\)$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}}{1+ax}dx=\displaystyle\int_0^a \frac{\left(\frac{t}{a}\right)^{μ-1}}{1+t} \cdot \frac{1}{a}dt=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_0^a \frac{t^{μ-1}}{1+t}dt$$\((B)\) 右の積分について \(x=as\) と置きます。\((dx=ads)\)$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{-μ}}{a+x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{1}{a}} \frac{(as)^{-μ}}{a+as} \cdot ads=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_0^{\frac{1}{a}} \frac{s^{-μ}}{1+s}ds$$さらに \(\displaystyle s=\frac{1}{r}\) と置きます。\(\displaystyle \left(ds=-\frac{1}{r^2}dr\right)\)$$=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_{\infty}^a \frac{r^μ}{1+\frac{1}{r}}\cdot \left(-\frac{1}{r^2}\right)dr=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{r^{μ-1}}{1+r}dr$$となるので、元の積分計算は
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^{μ-1}}{1+ax}+\frac{x^{-μ}}{a+x}\right)dx&=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_0^a \frac{t^{μ-1}}{1+t}dt+\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{r^{μ-1}}{1+r}dr\\
&=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{μ-1}}{1+t}dt=πa^{-μ}\csc μπ
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^{μ-1}}{1+ax}+\frac{x^{-μ}}{a+x}\right)dx=πa^{-μ}\csc μπ$$

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