x^{μ-1}/(1+ax)^v[b,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(1+ax)^v}dx=\frac{1}{a^μ}B(μ,v-μ)  (0 \lt μ \lt v)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^b \frac{x^{μ-1}}{(1+ax)^v}dx=\frac{b^μ}{μ} {}_2F_1(v,μ;1+μ;-ab)  (μ \gt 0)\\
&(3)  \displaystyle\int_b^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(1+ax)^v}dx=\frac{b^{μ-v}}{a^v(v-μ)}{}_2F_1\left(v,v-μ;v-μ+1;-\frac{1}{ab}\right)  (v \gt μ)\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(1+ax)^{n+1}}dx=\frac{π(-1)^n {}_{μ-1}\mathrm{C} _n}{a^μ} \csc μπ  (0 \lt μ \lt n+1 )\\
&(5)  \displaystyle\int_0^b \frac{x^{μ-1}}{1+ax}dx=\frac{b^μ}{μ} {}_2F_1(1,μ;1+μ;-ab)  (μ \gt 0)\\
&(6)  \displaystyle\int_0^b \frac{x^{μ-1}}{(1+ax)^2}dx=\frac{π(1-μ)}{a^μ}\csc μπ  (0 \lt μ \lt 2)\\
&(7)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^m}{(a+bx)^{n+\frac{1}{2}}}dx=2^{m+1}m! \cdot \frac{(2n-2m-3)!!}{(2n-1)!!} \cdot \frac{a^{m-n+\frac{1}{2}}}{b^{m+1}}  \left(a,b \gt 0,\, n \gt m+\frac{1}{2}\right)
\end{alignat}










<証明>

\((1)\) \(ax=t\) と置きます。\((adx=dt)\)$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(1+ax)^v}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\left(\frac{t}{a}\right)^{μ-1}}{(1+t)^v} \cdot \frac{1}{a}dt=\frac{1}{a^μ} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{μ-1}}{(1+t)^v}dt=\frac{1}{a^μ}B(μ,v-μ)$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(1+ax)^v}dx=\frac{1}{a^μ}B(μ,v-μ)  (0 \lt μ \lt v)$$









\((2)\) \(\displaystyle \frac{1}{(1+ax)^v}\) を級数で表します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^b \frac{x^{μ-1}}{(1+ax)^v}dx&=\displaystyle\int_0^b x^{μ-1}\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{-v(-v-1)(-v-2) \cdots (-v-n+1)}{n!} \cdot (ax)^n\right\}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{v(v+1)(v+2) \cdots (v+n-1)}{n!}(-a)^n\displaystyle\int_0^b x^{μ+n-1}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{v(v+1)(v+2) \cdots (v+n-1)}{n!}(-a)^n \left[\frac{x^{μ+n}}{μ+n}\right]_0^b\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{v(v+1)(v+2) \cdots (v+n-1)}{n!}(-a)^n \cdot \frac{b^{μ+n}}{μ+n}\\
\end{alignat}分子と分母に \((μ+n-1)(μ+n-2) \cdots (μ+1)μ\) を掛けます。
\begin{alignat}{2}
&=b^μ \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(v)_n \cdot (μ+n-1)(μ+n-2) \cdots (μ+1)μ}{(μ+n-1)(μ+n-2) \cdots (μ+1)μ} \cdot \frac{(-ab)^n}{n!(μ+n)}\\
&=\frac{b^μ}{μ} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(v)_n \cdot (μ+n-1)(μ+n-2) \cdots (μ+1)μ}{(μ+n)(μ+n-1)(μ+n-2) \cdots (μ+1)} \cdot \frac{(-ab)^n}{n!}\\
&=\frac{b^μ}{μ} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(v)_n (μ)_n}{(1+μ)_n} \cdot \frac{(-ab)^n}{n!}=\frac{b^μ}{μ} {}_2F_1(v,μ;1+μ;-ab)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^b \frac{x^{μ-1}}{(1+ax)^v}dx=\frac{b^μ}{μ} {}_2F_1(v,μ;1+μ;-ab)  (μ \gt 0)$$








\((3)\) \(\displaystyle ax=\frac{1}{t}\) と置きます。\(\displaystyle \left( adx=-\frac{1}{t^2}dt\right)\)$$\displaystyle\int_b^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(1+ax)^v}dx=\displaystyle\int_{\frac{1}{ab}}^0 \frac{(at)^{1-μ}}{\left(1+\frac{1}{t}\right)^v} \left(-\frac{1}{at^2}\right)dt=\frac{1}{a^μ} \displaystyle\int_0^{\frac{1}{ab}} \frac{t^{v-μ-1}}{(1+t)^v}dt$$\(\displaystyle \frac{1}{(1+t)^v}\) を級数で表します。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_0^{\frac{1}{ab}} t^{v-μ-1} \left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{-v(-v-1)(-v-2) \cdots (-v-n+1)}{n!}t^n\right\}dt\\
&=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{v(v+1)(v+2) \cdots (v+n-1)}{n!} \cdot (-1)^n\displaystyle\int_0^{\frac{1}{ab}} t^{v-μ+n-1}dt\\
&=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{v(v+1)(v+2) \cdots (v+n-1)}{n!} \cdot (-1)^n \left[\frac{t^{v-μ+n}}{v-μ+n}\right]_0^{\frac{1}{ab}}\\
&=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{v(v+1)(v+2) \cdots (v+n-1)}{n!} \cdot (-1)^n \cdot \frac{1}{v-μ+n} \left(\frac{1}{ab}\right)^{v-μ+n}\\
\end{alignat}分子と分母に \((v-μ+n-1)(v-μ+n-2) \cdots (v-μ+1)(v-μ)\) を掛けます。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(v)_n \cdot (v-μ+n-1)(v-μ+n-2) \cdots (v-μ+1)(v-μ)}{(v-μ+n-1)(v-μ+n-2) \cdots (v-μ+1)(v-μ)} \cdot \frac{(-1)^n}{n!} \cdot \frac{1}{v-μ+n} \left(\frac{1}{ab}\right)^{v-μ+n}\\
&=\frac{1}{a^μ(v-μ)}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(v)_n \cdot (v-μ+n-1)(v-μ+n-2) \cdots (v-μ+1)(v-μ)}{(v-μ+n)(v-μ+n-1)(v-μ+n-2) \cdots (v-μ+1)} \cdot \frac{(-1)^n}{n!} \left(\frac{1}{ab}\right)^{v-μ+n}\\
&=\frac{1}{a^μ(v-μ)}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(v)_n (v-μ)_n}{(v-μ+1)_n} \cdot \frac{(-1)^n}{n!} \left(\frac{1}{ab}\right)^{v-μ+n}\\
&=\frac{b^{μ-v}}{a^v(v-μ)}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(v)_n (v-μ)_n}{(v-μ+1)_n} \cdot \frac{1}{n!} \left(-\frac{1}{ab}\right)^n=\frac{b^{μ-v}}{a^v(v-μ)}{}_2F_1\left(v,v-μ;v-μ+1;-\frac{1}{ab}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_b^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(1+ax)^v}dx=\frac{b^{μ-v}}{a^v(v-μ)}{}_2F_1\left(v,v-μ;v-μ+1;-\frac{1}{ab}\right)  (v \gt μ)$$






\((4)\) \((1)\) の式で \(v=n+1\) とします。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(1+ax)^{n+1}}dx&=\frac{1}{a^μ}B(μ,n+1-μ)=\frac{1}{a^μ} \cdot \frac{Γ(μ)Γ(n+1-μ)}{Γ(n+1)}\\
&=\frac{1}{a^μ} \cdot \frac{Γ(μ) \cdot (n-μ)(n-1-μ)(n-2-μ) \cdots (1-μ)Γ(1-μ)}{n!}\\
&=\frac{(-1)^n}{a^μ} \cdot \frac{(μ-1)(μ-2) \cdots (μ-n+2)(μ-n+1)(μ-n)}{n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot Γ(μ)Γ(1-μ)\\
&=\frac{(-1)^n}{a^μ} {}_{μ-1}\mathrm{C} _n \cdot π\csc μπ=\frac{π(-1)^n {}_{μ-1}\mathrm{C} _n}{a^μ} \csc μπ\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(1+ax)^{n+1}}dx=\frac{π(-1)^n {}_{μ-1}\mathrm{C} _n}{a^μ} \csc μπ  (0 \lt μ \lt n+1 )$$






\((5)\) \((2)\) の式で \(v=1\) とします。$$\displaystyle\int_0^b \frac{x^{μ-1}}{1+ax}dx=\frac{b^μ}{μ} {}_2F_1(1,μ;1+μ;-ab)  (μ \gt 0)$$






\((6)\) \((1)\) の式で \(v=2\) とします。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^b \frac{x^{μ-1}}{(1+ax)^2}dx&=\frac{1}{a^μ}B(μ,2-μ)=\frac{1}{a^μ}Γ(μ)Γ(2-μ)\\
&=\frac{1}{a^μ}Γ(μ) \cdot (1-μ)Γ(1-μ)=\frac{1-μ}{a^μ} \cdot π\csc μπ\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^b \frac{x^{μ-1}}{(1+ax)^2}dx=\frac{π(1-μ)}{a^μ}\csc μπ  (0 \lt μ \lt 2)$$







\((7)\) 分母の \(a\) を括り出します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^m}{(a+bx)^{n+\frac{1}{2}}}dx=\frac{1}{a^{n+\frac{1}{2}}}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^m}{\left(1+\frac{b}{a}x\right)^{n+\frac{1}{2}}}dx$$この積分は \((1)\) の式で \(μ\) を \(m+1\)、\(v\) を \(\displaystyle n+\frac{1}{2}\)、\(a\) を \(\displaystyle \frac{b}{a}\) としたものだから
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{a^{n+\frac{1}{2}}} \left(\frac{a}{b}\right)^{m+1} B\left(m+1,n-m-\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{a^{m-n+\frac{1}{2}}}{b^{m+1}} \cdot \frac{Γ(m+1)Γ\left(n-m-\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)}\\
&=\frac{a^{m-n+\frac{1}{2}}}{b^{m+1}} \cdot m! \cdot \frac{2^n}{(2n-1)!!} \cdot \frac{1}{\sqrt{π}} \cdot \frac{1}{n-m-\frac{1}{2}} \cdot \frac{(2n-2m-1)!!}{2^{n-m}}\sqrt{π}\\
&=\frac{a^{m-n+\frac{1}{2}}}{b^{m+1}} \cdot m! \cdot 2^{m+1} \cdot \frac{(2n-2m-1)!!}{(2n-1)!!} \cdot \frac{1}{2n-2m-1}\\
&=2^{m+1}m! \cdot \frac{(2n-2m-3)!!}{(2n-1)!!} \cdot \frac{a^{m-n+\frac{1}{2}}}{b^{m+1}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^m}{(a+bx)^{n+\frac{1}{2}}}dx=2^{m+1}m! \cdot \frac{(2n-2m-3)!!}{(2n-1)!!} \cdot \frac{a^{m-n+\frac{1}{2}}}{b^{m+1}}  \left(a,b \gt 0,\, n \gt m+\frac{1}{2}\right)$$

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