x^{μ-1}/(coshx-cost)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{\cosh x-\cos t}dx=\frac{2Γ(μ)}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nt}{n^μ}\\
&                      =\frac{i Γ(μ)}{\sin t}\left\{e^{-it}Φ(e^{-it},μ,1)-e^{it}Φ(e^{it},μ,1)\right\}\\
&                            (μ \gt 0, 0 \lt t \lt 2π, t≠π)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{\cosh x+1}dt=(2-2^{3-μ})Γ(μ)ζ(μ-1)  (μ≠2)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{\cosh x+1}dt=2 \log 2
\end{alignat}









<証明>

次の級数における等式を用います。(詳細はこちらです)$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}e^{-nt}\sin nx=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin x}{\cosh t -\cos x}  (t \gt 0)$$


\((1)\) 上記の式を、求める積分で用いるため \(x\) と \(t\) を入れ替え、式を整理します。$$\frac{1}{\cosh x-\cos t}=\frac{2}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx} \sin nt$$両辺に \(x^{μ-1}\) を掛けて \([0,∞]\) で積分します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{\cosh x-\cos t}dx=\frac{2}{\sin t} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \sin nt \displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1} e^{-nx}dx$$右辺の積分は \(nx=s\) と置きます。\((ndx=ds)\)$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1} e^{-nx}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{s}{n}\right)^{μ-1}e^{-s}\cdot \frac{1}{n}ds=\frac{1}{n^μ}\displaystyle\int_0^{\infty} s^{μ-1}e^{-s}ds=\frac{Γ(μ)}{n^{μ}}$$となるので、以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{\cosh x-\cos t}dt=\frac{2Γ(μ)}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nt}{n^μ}$$



さらに、得られた式を変形します。(レルヒ関数で表します)
\begin{alignat}{2}
&=\frac{2Γ(μ)}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^μ}\cdot \frac{e^{int}-e^{-int}}{2i}=\frac{Γ(μ)}{i \sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{e^{int}}{n^μ}-\frac{e^{-int}}{n^μ}\right)\\
&=\frac{iΓ(μ)}{\sin t}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-int}}{n^μ}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{int}}{n^μ}\right)=\frac{iΓ(μ)}{\sin t}\left\{e^{-it}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-i(n-1)t}}{n^μ}-e^{it}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{i(n-1)t}}{n^μ}\right\}\\
&=\frac{iΓ(μ)}{\sin t}\left\{e^{-it}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{-int}}{(n+1)^μ}-e^{it}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{int}}{(n+1)^μ}\right\}\\
&=\frac{i Γ(μ)}{\sin t}\left\{e^{-it}Φ(e^{-it},μ,1)-e^{it}Φ(e^{it},μ,1)\right\}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{\cosh x-\cos t}dx=\frac{i Γ(μ)}{\sin t}\left\{e^{-it}Φ(e^{-it},μ,1)-e^{it}Φ(e^{it},μ,1)\right\}\\$$







\((2)\) \((1)\) の式で \(t \to π\) とします。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{\cosh x+1}dt=2Γ(μ)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\displaystyle\lim_{t \to π}\frac{\sin nt}{\sin t}\right)\frac{1}{n^μ}$$極限の計算はロピタルの定理を用います。$$\displaystyle\lim_{t \to π}\frac{\sin nt}{\sin t}=\displaystyle\lim_{t \to π}\frac{n \cos nt}{\cos t}=\frac{n \cos nπ}{\cos π}=n(-1)^{n-1}$$ よって
\begin{alignat}{2}
&=2Γ(μ)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{n^μ}=2Γ(μ)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{μ-1}}\\
&=2Γ(μ)η(μ-1)=2Γ(μ)(1-2^{2-μ})ζ(μ-1)=(2-2^{3-μ})Γ(μ)ζ(μ-1)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{\cosh x+1}dt=(2-2^{3-μ})Γ(μ)ζ(μ-1)$$








\((3)\) \((2)\) の最後から \(3\) 番目の式で \(μ=2\) とします。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{\cosh x+1}dt=2Γ(2)η(1)=2\log 2$$

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