x^{μ-1}/(coshx+cost)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{\cosh x+\cos t}dx=\frac{2Γ(μ)}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sin nt}{n^μ}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2}{\cosh x+\cos t}dx=\frac{t(π^2-t^2)}{3 \sin t}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^4}{\cosh x+\cos t}dx=\frac{t(π^2-t^2)(7π^2-3t^2)}{15 \sin t}\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ \gt 0, 0 \lt t \lt π\)








<証明>

次の級数における等式を用います。(詳細はこちらです)$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}e^{-nt}\sin nx=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin x}{\cosh t +\cos x}  (t \gt 0)$$


\((1)\) 上記の式を用いるために \(x\) と \(t\) を入れ替えて、式を整理します。$$\frac{1}{\cosh x+\cos t}=\frac{2}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} e^{-nx}\sin nt$$両辺に \(x^{μ-1}\) を掛けて \([0,∞]\) で積分します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{\cosh x+\cos t}dx=\frac{2}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \sin nt \displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1}e^{-nx}dx$$右辺の積分は \(nx=s\) と置きます。\((ndx=ds)\)$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1} e^{-nx}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{s}{n}\right)^{μ-1}e^{-s}\cdot \frac{1}{n}ds=\frac{1}{n^μ}\displaystyle\int_0^{\infty} s^{μ-1}e^{-s}ds=\frac{Γ(μ)}{n^{μ}}$$となるので、以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{\cosh x+\cos t}dx=\frac{2Γ(μ)}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sin nt}{n^μ}$$






\((2)(3)\) は次の級数における等式を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\sin kx}{k^3}=\frac{π^2x}{12}-\frac{x^3}{12}\\
&(B)  \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\sin kx}{k^5}=\frac{7π^4x}{720}-\frac{π^2x^3}{72}+\frac{x^5}{240}\\
\end{alignat}ただし、全て \(-π \lt x \lt π\)






\((2)\) \((1)\) の式で \(μ=3\) として \((A)\) を代入します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2}{\cosh x+\cos t}dx=\frac{2Γ(3)}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sin nt}{n^3}=\frac{4}{\sin t}\left(\frac{π^2t}{12}-\frac{t^3}{12}\right)=\frac{t(π^2-t^2)}{3 \sin t}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2}{\cosh x+\cos t}dx=\frac{t(π^2-t^2)}{3 \sin t}$$







\((3)\) \((1)\) の式で \(μ=5\) として \((B)\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^4}{\cosh x+\cos t}dx=\frac{2Γ(5)}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sin nt}{n^5}=\frac{2 \cdot 4!}{\sin t}\left(\frac{7π^4t}{720}-\frac{π^2t^3}{72}+\frac{t^5}{240}\right)\\
&                 =\frac{t}{15 \sin t}(7π^4t -10π^2t^2+3t^4)=\frac{t(π^2-t^2)(7π^2-3t^2)}{15 \sin t}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^4}{\cosh x+\cos t}dx=\frac{t(π^2-t^2)(7π^2-3t^2)}{15 \sin t}$$

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