x^{μ-1}/(x^2+2axcost+a^2)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x^2+2ax \cos t +a^2}dx  (0 \lt μ \lt 2)\\
&=-πa^{μ-2} \csc μπ \csc t \sin (μ-1)t\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(x^2+2ax \cos t+a^2)^2}dx  (0 \lt μ \lt 4)\\
&=\frac{πa^{μ-4}}{2} \csc μπ \csc^3 t\{(μ-1)\sin t\cos (μ-2)t-\sin (μ-1)t\}
\end{alignat} ただし、全て \(a \gt 0,\,|t| \lt π\)










<証明>

次のような積分路において複素積分を行います。

経路は下図です。\(C_1 \to C_2 \to C_3 \to C_4\) の周回積分とします。



\(\displaystyle f(z)=\frac{z^{μ-1}}{z^2+2z \cos t+1}\) と置きます。

上記の積分路における特異点を調べるために \(f(z)\) を変形します。
\begin{alignat}{2}
f(z)&=\frac{z^{μ-1}}{z^2+2z \cos t+1}=\frac{z^{μ-1}}{z^2+z(e^{it}+e^{-it})+1}\\
&=\frac{z^{μ-1}}{z^2+ze^{it}+ze^{-it}+1}=\frac{z^{μ-1}}{(z+e^{it})(z+e^{-it})}\\
\end{alignat}よって、特異点は \(z=-e^{it},-e^{-it}\) です。

これら \(2\) つの特異点における留数をそれぞれ \(R_1,R_2\) とすると次式が成り立ちます。$$\displaystyle\oint_C f(z)dz=\displaystyle\int_{C_1}+\displaystyle\int_{C_2}+\displaystyle\int_{C_3}+\displaystyle\int_{C_4}=2πi(R_1+R_2)$$


\((A)\) \(C_1,\,C_3\) について

\(C_3\) では \(z=re^{iθ}\,\,(0 \leq θ \leq 2π)\) と置きます。\((dz=ire^{iθ}dθ)\)$$\displaystyle\int_{C_3} f(z)dz=\displaystyle\int_0^{2π} \frac{(re^{iθ})^{μ-1}}{r^2e^{2iθ}+2re^{iθ}\cos t+1} \cdot ire^{iθ}dθ$$絶対値を積分値を評価します。(分母を小さくするために \(\cos t=0\) とします。)$$\left|\displaystyle\int_{C_3} f(z)dz\right|\leq\displaystyle\int_0^{2π} \frac{r^{μ-1}}{r^2-1} \cdot rdθ=\frac{r^μ}{r^2-1}\displaystyle\int_0^{2π}dθ=\frac{2πr^μ}{r^2-1}$$\(0 \lt μ \lt 2\) であるので \(r \to 0\) とすると$$\displaystyle\lim_{r \to 0} \displaystyle\int_{C_3} f(z)dz=0$$ また \(C_1\) も同様に \(z=Re^{iθ}\) と置いて同じ計算を進めることになり、次式を得ます。$$\left|\displaystyle\int_{C_1} f(z)dz\right|\leq \frac{2πR^μ}{R^2-1}$$\(C_1\) についても \(R \to \infty\) とすれば$$\displaystyle\lim_{R \to 0} \displaystyle\int_{C_1} f(z)dz=0$$




\((B)\) \(C_2+C_4\) を計算します。

\(C_4\) について \(z=x\,\,(r \leq x \leq R)\) と置きます。\((dx=dz)\)$$\displaystyle\int_{C_4}f(z)dz=\displaystyle\int_r^R \frac{x^{μ-1}}{x^2+2x \cos t+1}dx$$

\(C_2\) については \(C_4\) に対して \(1\) 周してから、同じ動き(向きは逆)をしているので

\(z=e^{2πi}x\,\,(r \leq x \leq R)\) と置きます。\((dz=e^{2πi}dx)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{C_2}f(z)dz&=\displaystyle\int_R^r \frac{(e^{2πi})^{μ-1}}{e^{4πi}x^2+2e^{2πi}x \cos t+1} \cdot e^{2πi} dx\\
&=-e^{2πi(μ-1)} \displaystyle\int_r^R \frac{x^{μ-1}}{x^2+2x \cos t+1}dx\\
\end{alignat}
これらの和を取ります。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_{C_4}f(z)dz+\displaystyle\int_{C_2}f(z)dz\\
&=\displaystyle\int_r^R \frac{x^{μ-1}}{x^2+2x \cos t+1}dx-e^{2πi(μ-1)} \displaystyle\int_r^R \frac{x^{μ-1}}{x^2+2x \cos t+1}dx\\
&=(1-e^{2πμi})\displaystyle\int_r^R \frac{x^{μ-1}}{x^2+2x \cos t+1}dx\\
\end{alignat} \(r \to 0,R \to \infty\) とします。$$\displaystyle\lim_{\,\,r \to 0\\R \to \infty}\left\{\displaystyle\int_{C_4}f(z)dz+\displaystyle\int_{C_2}f(z)dz\right\}=(1-e^{2πμi})\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x^2+2x \cos t+1}dx$$


\((C)\) 留数を計算します。
\begin{alignat}{2}
R_1&=\mathrm{Res}(f(z),-e^{it})=\displaystyle\lim_{z \to -e^{it}} (z+e^{it}) \cdot \frac{z^{μ-1}}{(z+e^{it})(z+e^{-it})}\\
&=\displaystyle\lim_{z \to -e^{it}} \frac{z^{μ-1}}{z+e^{-it}}=-\frac{(-e^{it})^{μ-1}}{e^{it}-e^{-it}}=-\frac{(-e^{it})^{μ-1}}{2i \sin t}\\
&\\
R_2&=\mathrm{Res}(f(z),-e^{-it})=\displaystyle\lim_{z \to -e^{-it}} (z+e^{-it}) \cdot \frac{z^{μ-1}}{(z+e^{it})(z+e^{-it})}\\
&=\displaystyle\lim_{z \to -e^{-it}} \frac{z^{μ-1}}{z+e^{it}}=\frac{(-e^{-it})^{μ-1}}{e^{it}-e^{-it}}=\frac{(-e^{-it})^{μ-1}}{2i \sin t}\\
\end{alignat}足し合わせます。$$R_1+R_2=-\frac{(-e^{it})^{μ-1}}{2i \sin t}+\frac{(-e^{-it})^{μ-1}}{2i \sin t}=\frac{(-1)^μ}{\sin t} \cdot \frac{e^{i(μ-1)t}-e^{-i(μ-1)t}}{2i}=\frac{(-1)^μ \sin (μ-1)t}{\sin t}$$



以上より、複素積分の結果、次式を得ます。$$(1-e^{2πμi})\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x^2+2x \cos t+1}dx=2πi \cdot \frac{(-1)^μ \sin (μ-1)t}{\sin t}$$式を整理します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x^2+2x \cos t+1}dx&=2πi \cdot \frac{1}{1-e^{2πμi}} \cdot \frac{(-1)^μ \sin (μ-1)t}{\sin t}\\
&=-2πi \cdot \frac{e^{-μπi}}{e^{μπi}-e^{-μπi}} \cdot \frac{e^{μπi} \sin (μ-1)t}{\sin t}\\
&=-π \cdot \frac{2i}{e^{μπi}-e^{-μπi}} \cdot \frac{\sin (μ-1)t}{\sin t}\\
&=-π \csc μπ \csc t \sin (μ-1)t\\
\end{alignat}\(\displaystyle x=\frac{s}{a}\) と置きます。\(\displaystyle \left( dx=\frac{1}{a}ds\right)\)$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\left(\frac{s}{a}\right)^{μ-1}}{\frac{s^2}{a^2}+2 \cdot \frac{s}{a} \cos t+1}\cdot \frac{1}{a}ds=\frac{1}{a^{μ-2}}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{s^{μ-1}}{s^2+2as \cos t +a^2}dx$$両辺に \(a^{μ-2}\) を掛けて \(s\) を \(x\) に書き直します。以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x^2+2ax \cos t +a^2}dx=-πa^{μ-2} \csc μπ \csc t \sin (μ-1)t  (0 \lt μ \lt 2)$$







\((2)\) \((1)\) の式の \(μ\) を \(μ-1\) とします。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-2}}{x^2+2ax \cos t +a^2}dx=-πa^{μ-3} \csc (μ-1)π \cdot \frac{\sin (μ-2)t}{\sin t}$$両辺を \(a\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-2}(-2a \sin t)}{(x^2+2ax \cos t +a^2)^2}dx&=-πa^{μ-3} \csc (μ-1)π \cdot \frac{(μ-2) \cos (μ-2)t \sin t- \sin (μ-2) \cos t}{\sin^2 t}\\
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-2}}{(x^2+2ax \cos t +a^2)^2}dx&=-\frac{πa^{μ-4}}{2} \csc (μ-1)π \cdot \frac{(μ-1) \cos (μ-2)t \sin t-\sin(μ-2)t \cos t-\cos (μ-2)t \sin t}{\sin^3 t}\\
&=\frac{πa^{μ-4}}{2} \csc μπ \cdot \frac{(μ-1) \cos (μ-2)t \sin t-\sin(μ-1)t}{\sin^3 t}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(x^2+2ax \cos t+a^2)^2}dx=\frac{πa^{μ-4}}{2} \csc μπ \csc^3 t\{(μ-1)\sin t\cos (μ-2)t-\sin (μ-1)t\}  (0 \lt μ \lt 4)$$







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