(x^{μ-1}-x^{v-1})/logx[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{v-1}}{\log x}dx=\log \frac{μ}{v}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{v-1}}{(\log x)^2}dx=μ\log μ-v \log v\\
&(3)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{v-1}}{(\log x)^3}dx=\frac{1}{2}(μ^2\log μ-v^2 \log v)-\frac{1}{4}(μ^2-v^2)\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}-e^{-vx}}{x}dx=\log \frac{v}{μ}\\
&(5)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}-e^{-vx}}{x^2}dx=μ\log μ-v \log v\\
&(6)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}-e^{-vx}}{x^3}dx=-\frac{1}{2}(μ^2\log μ-v^2 \log v)+\frac{1}{4}(μ^2-v^2)\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ,v \gt 0\)












<証明>

\((1)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{v-1}}{\log x} \cdot x^adx$$\(I(0)\) を求めます。

\(I(a)\) を \(a\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
I’(a)&=\displaystyle\int_0^1 (x^{μ-1}-x^{v-1})x^adx=\displaystyle\int_0^1 (x^{a+μ-1}-x^{a+v-1})dx\\
&=\left[\frac{x^{a+μ}}{a+μ}-\frac{x^{a+v}}{a+v}\right]_0^1=\frac{1}{a+μ}-\frac{1}{a+v}\\
\end{alignat}両辺を \(a\) で積分します。$$I(a)=\log (a+μ)-\log (a+v)+C$$\(I(\infty)=0\) より \(C=0\) だから$$I(a)=\log (a+μ)-\log (a+v)$$\(a=0\) とします。$$I(0)=\log μ-\log v=\log \frac{μ}{v}$$以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{v-1}}{\log x}dx=\log \frac{μ}{v}$$







\((2)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{v-1}}{(\log x)^2} \cdot x^adx$$\(I(0)\) を求めます。

\(I(a)\) を \(a\) で \(2\) 回微分します。
\begin{alignat}{2}
I’’(a)&=\displaystyle\int_0^1 (x^{μ-1}-x^{v-1})x^adx=\displaystyle\int_0^1 (x^{a+μ-1}-x^{a+v-1})dx\\
&=\left[\frac{x^{a+μ}}{a+μ}-\frac{x^{a+v}}{a+v}\right]_0^1=\frac{1}{a+μ}-\frac{1}{a+v}\\
\end{alignat}両辺を \(a\) で積分します。$$I’(a)=\log (a+μ)-\log (a+v)+C$$\(I’(\infty)=0\) より \(C=0\) だから$$I’(a)=\log (a+μ)-\log (a+v)$$もう一度、両辺を \(a\) で積分します。$$I(a)=(a+μ)\log (a+μ)-(a+v)\log (a+μ)+C$$\(I(\infty)=0\) より \(C=0\) だから$$I(a)=(a+μ)\log (a+μ)-(a+v)\log (a+μ)$$\(a=0\) とします。$$I(0)=μ\log μ-v\log v$$以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{v-1}}{(\log x)^2}dx=μ\log μ-v \log v$$









\((3)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{v-1}}{(\log x)^3} \cdot x^adx$$\(I(0)\) を求めます。

\(I(a)\) を \(a\) で \(3\) 回微分します。
\begin{alignat}{2}
I^{(3)}(a)&=\displaystyle\int_0^1 (x^{μ-1}-x^{v-1})x^adx=\displaystyle\int_0^1 (x^{a+μ-1}-x^{a+v-1})dx\\
&=\left[\frac{x^{a+μ}}{a+μ}-\frac{x^{a+v}}{a+v}\right]_0^1=\frac{1}{a+μ}-\frac{1}{a+v}\\
\end{alignat}両辺を \(a\) で積分します。$$I’’(a)=\log (a+μ)-\log (a+v)+C$$\(I’’(\infty)=0\) より \(C=0\) だから$$I’’(a)=\log (a+μ)-\log (a+v)$$もう一度、両辺を \(a\) で積分します。$$I’(a)=(a+μ)\log (a+μ)-(a+v)\log (a+μ)+C$$\(I’(\infty)=0\) より \(C=0\) だから$$I’(a)=(a+μ)\log (a+μ)-(a+v)\log (a+μ)$$もう一度、両辺を \(a\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
I(a)&=\frac{1}{2}(a+μ)^2 \log (a+μ)-\frac{1}{2}\displaystyle\int (a+μ)^2 \cdot \frac{1}{a+μ}da-\frac{1}{2}(a+v)^2 \log (a+v)+\frac{1}{2}\displaystyle\int (a+v)^2 \cdot \frac{1}{a+v}da\\
&=\frac{1}{2}(a+μ)^2 \log (a+μ)-\frac{1}{2}\displaystyle\int (a+μ)da-\frac{1}{2}(a+v)^2 \log (a+v)+\frac{1}{2}\displaystyle\int (a+v)da\\
&=\frac{1}{2}(a+μ)^2 \log (a+μ)-\frac{1}{4} (a+μ)^2-\frac{1}{2}(a+v)^2 \log (a+v)+\frac{1}{4}(a+v)^2+C\\
\end{alignat}\(I(\infty)=0\) より \(C=0\) だから$$I(a)=\frac{1}{2}(a+μ)^2 \log (a+μ)-\frac{1}{4} (a+μ)^2-\frac{1}{2}(a+v)^2 \log (a+v)+\frac{1}{4}(a+v)^2$$\(a=0\) とします。
\begin{alignat}{2}
I(0)&=\frac{1}{2}μ^2 \log μ-\frac{1}{4}μ^2-\frac{1}{2}v^2 \log v+\frac{1}{4}v^2\\
&=\frac{1}{2}(μ^2\log μ-v^2 \log v)-\frac{1}{4}(μ^2-v^2)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{v-1}}{(\log x)^3}dx=\frac{1}{2}(μ^2\log μ-v^2 \log v)-\frac{1}{4}(μ^2-v^2)$$







\((4)(5)(6)\) は全て \(x=-\log t\) と置きます。\(\displaystyle \left(dx=-\frac{1}{t}dt\right)\)

その後、\((1)(2)(3)\) の結果を用います。
\begin{alignat}{2}
(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}-e^{-vx}}{x}dx&=\displaystyle\int_1^0 \frac{e^{μ\log t}-e^{v \log t}}{-\log t} \left(-\frac{1}{t}\right)dt\\
&=-\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ-1}-t^{v-1}}{\log t}dt=-\log \frac{μ}{v}=\log \frac{v}{μ}\\
&\\
(5)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}-e^{-vx}}{x^2}dx&=\displaystyle\int_1^0 \frac{e^{μ\log t}-e^{v \log t}}{(\log t)^2} \left(-\frac{1}{t}\right)dt\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ-1}-t^{v-1}}{(\log t)^2}dt=μ\log μ-v \log v\\
&\\
(6)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}-e^{-vx}}{x^3}dx&=\displaystyle\int_1^0 \frac{e^{μ\log t}-e^{v \log t}}{-(\log t)^3} \left(-\frac{1}{t}\right)dt\\
&=-\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ-1}-t^{v-1}}{(\log t)^3}dt=-\frac{1}{2}(μ^2\log μ-v^2 \log v)+\frac{1}{4}(μ^2-v^2)\\\\
\end{alignat}

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です