x^{μ-1}(1-x)^{v-1}(1-ax)^{-p}[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x)^{v-1}(1-ax)^{-p}dx=B(μ,v){}_2F_1(p,μ;μ+v;a)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x)^{v-1}(1+ax)^{-μ-v}dx=(1+a)^{-μ}B(μ,v)\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ,v \gt 0\)










<証明>

\((1)\) \((1-ax)^{-p}\) を級数で表します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x)^{v-1}(1-ax)^{-p}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x)^{v-1} \left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{-p(-p-1) \cdots (-p-n+1)}{n!} \cdot (-ax)^n\right\}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(p+1) \cdots (p+n-1)}{n!} \cdot a^n \displaystyle\int_0^1 x^{μ+n-1}(1-x)^{v-1}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(p+1) \cdots (p+n-1)}{n!} \cdot a^n \cdot B(μ+n,v)\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(p+1) \cdots (p+n-1)}{n!} \cdot a^n \cdot \frac{μ+n-1}{μ+v+n-1} \cdot \frac{μ+n-2}{μ+v+n-2} \cdots \frac{μ+1}{μ+v+1} \cdot \frac{μ}{μ+v}B(μ,v)\\
&=B(μ,v)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(p+n-1) \cdots (p+1)p \cdot (μ+n-1) \cdots (μ+1)μ}{(μ+v+n-1)(μ+v+n-2) \cdots (μ+v+1)(μ+v)} \cdot \frac{a^n}{n!}\\
&=B(μ,v)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(p)_n \cdot (μ)_n}{(μ+v)_n} \cdot \frac{a^n}{n!}=B(μ,v){}_2F_1(p,μ;μ+v;a)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x)^{v-1}(1-ax)^{-p}dx=B(μ,v){}_2F_1(p,μ;μ+v;a)$$









\((2)\) \((1+ax)^{-μ-v}\) を級数で表します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x)^{v-1}(1+ax)^{-μ-v}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x)^{v-1} \left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-μ-v)(-μ-v-1) \cdots (-μ-v-n+1)}{n!} \cdot (ax)^n\right\}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(μ+v)(μ+v+1) \cdots (μ+v+n-1)}{n!} \cdot (-a)^n \displaystyle\int_0^1 x^{μ+n-1}(1-x)^{v-1}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(μ+v)(μ+v+1) \cdots (μ+v+n-1)}{n!} \cdot (-a)^n \cdot B(μ+n,v)\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(μ+v)(μ+v+1) \cdots (μ+v+n-1)}{n!} \cdot (-a)^n \cdot \frac{μ+n-1}{μ+v+n-1} \cdot \frac{μ+n-2}{μ+v+n-2} \cdots \frac{μ+1}{μ+v+1} \cdot \frac{μ}{μ+v}B(μ,v)\\
&=B(μ,v)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(μ+n-1) \cdots (μ+1)μ}{n!} \cdot (-a)^n\\
&=B(μ,v)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{-μ(-μ+1) \cdots (-μ-n+1)}{n!} \cdot a^n=(1+a)^{-μ}B(μ,v)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x)^{v-1}(1+ax)^{-μ-v}dx=(1+a)^{-μ}B(μ,v)$$

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