x^{μ-1}coshax/sinh^{2}ax[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}\cosh ax}{\sinh^2 ax}dx=\frac{2Γ(μ)}{a^μ}(1-2^{1-μ})ζ(μ-1)  (μ \gt 1)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\cosh ax}{\sinh^2 ax}dx=\frac{π^2}{2a^3}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n+1}\cosh ax}{\sinh^2 ax}dx=\frac{4(2^{2n+1}-1)}{(2a)^{2n+2}}(2n+1)!ζ(2n+1)\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n}\cosh ax}{\sinh^2 ax}dx=\frac{2^{2n}-1}{a}\left(\frac{π}{a}\right)^{2n}|B_{2n}|\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0, n \in \mathrm{N}\)









<証明>

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}\cosh ax}{\sinh^2 ax}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1}\cdot \frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2} \cdot \frac{4}{(e^{ax}-e^{-ax})^2}dx\\
&=2 \displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1}(e^{ax}+e^{-ax})\cdot \frac{e^{-2ax}}{(1-e^{-2ax})^2}dx\\
&=2 \displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1}e^{-2ax}(e^{ax}+e^{-ax})\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} ne^{-2(n-1)ax}dx\\
&=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n \displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1}(e^{ax}+e^{-ax})e^{-2nax}dx\\
&=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n \left\{\displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1}e^{-(2n-1)ax}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1}e^{-(2n+1)ax}dx\right\}
\end{alignat}左の積分は \((2n-1)ax=t\)、右の積分は \((2n+1)ax=s\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n\left[\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{t}{(2n-1)a}\right\}^{μ-1}e^{-t} \cdot \frac{1}{(2n-1)a}dt+\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{s}{(2n+1)a}\right\}^{μ-1}e^{-s} \cdot \frac{1}{(2n+1)a}ds\right]\\
&=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(n \left\{\frac{1}{(2n-1)^μa^μ}\displaystyle\int_0^{\infty} t^{μ-1}e^{-t}dt+\frac{1}{(2n+1)^μa^μ}\displaystyle\int_0^{\infty} s^{μ-1}e^{-s}ds\right\}\\
&=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n \left\{\frac{Γ(μ)}{(2n-1)^μa^μ}+\frac{Γ(μ)}{(2n+1)^μa^μ}\right\}\\
&=\frac{2Γ(μ)}{a^μ}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n \left\{\frac{1}{(2n-1)^μa^μ}+\frac{1}{(2n+1)^μa^μ}\right\}\\
&=\frac{2Γ(μ)}{a^μ}\left\{1+\frac{1}{3^μ}+2\left(\frac{1}{3^μ}+\frac{1}{5^μ}\right)+3\left(\frac{1}{5^μ}+\frac{1}{7^μ}\right)+4\left(\frac{1}{7^μ}+\frac{1}{9^μ}\right)+ \cdots\right\}\\
&=\frac{2Γ(μ)}{a^μ}\left(1+\frac{1}{3^{μ-1}}+\frac{1}{5^{μ-1}}+\frac{1}{7^{μ-1}}+ \cdots\right)\\
&=\frac{2Γ(μ)}{a^μ}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^μ}=\frac{2Γ(μ)}{a^μ}(1-2^{1-μ})ζ(μ-1)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}\cosh ax}{\sinh^2 ax}dx=\frac{2Γ(μ)}{a^μ}(1-2^{1-μ})ζ(μ-1)$$







\((2)\) \((1)\) の式で \(μ=3\) とします。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\cosh ax}{\sinh^2 ax}dx=\frac{2Γ(3)}{a^3}\left(1-\frac{1}{4}\right)ζ(2)=\frac{4}{a^3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{π^2}{6}=\frac{π^2}{2a^3}$$






\((3)\) \((1)\) の式で \(μ=2n+2\) とします。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n+1}\cosh ax}{\sinh^2 ax}dx=\frac{2Γ(2n+2)}{a^{2n+2}}\cdot \frac{2^{2n+1}-1}{2^{2n+1}} \cdot ζ(2n+1)=\frac{4(2^{2n+1}-1)}{(2a)^{2n+2}}(2n+1)!ζ(2n+1)$$







\((4)\) \((1)\) の式で \(μ=2n+1\) とします。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n}\cosh ax}{\sinh^2 ax}dx=\frac{2Γ(2n+1)}{a^{2n+1}} \cdot \frac{2^{2n}-1}{2^{2n}} \cdot ζ(2n)\\
&                =\frac{2Γ(2n+1)}{a^{2n+1}} \cdot \frac{2^{2n}-1}{2^{2n}} \cdot \frac{(2π)^{2n}|B_{2n}|}{2 \cdot (2n)!}\\
&                =\frac{2^{2n}-1}{a}\left(\frac{π}{a}\right)^{2n}|B_{2n}|
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n}\cosh ax}{\sinh^2 ax}dx=\frac{2^{2n}-1}{a}\left(\frac{π}{a}\right)^{2n}|B_{2n}|$$

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