x^{μ-1}sinaxsinbx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1} \sin ax \sin bxdx=-\frac{Γ(μ)}{2}\cos \frac{μπ}{2}\{(a+b)^{-μ}-(a-b)^{-μ}\}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1} \sin ax \cos bxdx=\frac{Γ(μ)}{2}\sin \frac{μπ}{2}\{(a+b)^{-μ}+(a-b)^{-μ}\}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1} \cos ax \cos bxdx=\frac{Γ(μ)}{2}\cos \frac{μπ}{2}\{(a+b)^{-μ}+(a-b)^{-μ}\}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt b \gt 0,\,0 \lt μ \lt 1\)









<証明>

全て、メリン変換の公式を用います。

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1} \sin ax \sin bxdx\\
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1} \{\cos (a+b)x-\cos (a-b)x\}dx\\
&=-\frac{1}{2}\left\{\frac{Γ(μ)}{(a+b)^μ}\cos \frac{μπ}{2}-\frac{Γ(μ)}{(a-b)^μ}\cos \frac{μπ}{2}\right\}\\
&=-\frac{Γ(μ)}{2}\cos \frac{μπ}{2}\{(a+b)^{-μ}-(a-b)^{-μ}\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1} \sin ax \sin bxdx=-\frac{Γ(μ)}{2}\cos \frac{μπ}{2}\{(a+b)^{-μ}-(a-b)^{-μ}\}$$







\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1} \sin ax \cos bxdx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1} \{\sin (a+b)x+\sin (a-b)x\}dx\\
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{Γ(μ)}{(a+b)^μ}\sin \frac{μπ}{2}+\frac{Γ(μ)}{(a-b)^μ}\sin \frac{μπ}{2}\right\}\\
&=\frac{Γ(μ)}{2}\sin \frac{μπ}{2}\{(a+b)^{-μ}+(a-b)^{-μ}\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1} \sin ax \cos bxdx=\frac{Γ(μ)}{2}\sin \frac{μπ}{2}\{(a+b)^{-μ}+(a-b)^{-μ}\}$$







\begin{alignat}{2}
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1} \cos ax \cos bxdx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1} \{\cos (a+b)x+\cos (a-b)x\}dx\\
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{Γ(μ)}{(a+b)^μ}\cos \frac{μπ}{2}+\frac{Γ(μ)}{(a-b)^μ}\cos \frac{μπ}{2}\right\}\\
&=\frac{Γ(μ)}{2}\cos \frac{μπ}{2}\{(a+b)^{-μ}+(a-b)^{-μ}\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1} \cos ax \cos bxdx=\frac{Γ(μ)}{2}\cos \frac{μπ}{2}\{(a+b)^{-μ}+(a-b)^{-μ}\}$$

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