x^{μ-1}sinhax/cosh^{2}ax[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}\sinh ax}{\cosh^2 ax}dx=\frac{2}{a^μ}Γ(μ)β(μ-1)  (β(μ):\mathrm{Dirichlet\,beta}) (μ\gt 1)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\sinh ax}{\cosh^2 ax}dx=\frac{π}{2a^2}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n+1}\sinh ax}{\cosh^2 ax}dx=\frac{2n+1}{a}\left(\frac{π}{2a}\right)^{2n+1}|E_{2n}|\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\sinh x}{\cosh^2 x}dx=4G
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0, n \in \mathrm{N}\)









<証明>

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}\sinh ax}{\cosh^2 ax}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1}\cdot \frac{e^{ax}-e^{-ax}}{2} \cdot \frac{4}{(e^{ax}+e^{-ax})^2}dx\\
&=2 \displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1}(e^{ax}-e^{-ax})\cdot \frac{e^{-2ax}}{(1+e^{-2ax})^2}dx\\
&=2 \displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1}e^{-2ax}(e^{ax}-e^{-ax})\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} ne^{-2(n-1)ax}dx\\
&=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n \displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1}(e^{ax}-e^{-ax})e^{-2nax}dx\\
&=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n \left\{\displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1}e^{-(2n-1)ax}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} x^{μ-1}e^{-(2n+1)ax}dx\right\}
\end{alignat}左の積分は \((2n-1)ax=t\)、右の積分は \((2n+1)ax=s\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n\left[\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{t}{(2n-1)a}\right\}^{μ-1}e^{-t} \cdot \frac{1}{(2n-1)a}dt-\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{s}{(2n+1)a}\right\}^{μ-1}e^{-s} \cdot \frac{1}{(2n+1)a}ds\right]\\
&=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n \left\{\frac{1}{(2n-1)^μa^μ}\displaystyle\int_0^{\infty} t^{μ-1}e^{-t}dt-\frac{1}{(2n+1)^μa^μ}\displaystyle\int_0^{\infty} s^{μ-1}e^{-s}ds\right\}\\
&=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n \left\{\frac{Γ(μ)}{(2n-1)^μa^μ}-\frac{Γ(μ)}{(2n+1)^μa^μ}\right\}\\
&=\frac{2Γ(μ)}{a^μ}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n \left\{\frac{1}{(2n-1)^μa^μ}-\frac{1}{(2n+1)^μa^μ}\right\}\\
&=\frac{2Γ(μ)}{a^μ}\left\{1-\frac{1}{3^μ}-2\left(\frac{1}{3^μ}-\frac{1}{5^μ}\right)+3\left(\frac{1}{5^μ}-\frac{1}{7^μ}\right)-4\left(\frac{1}{7^μ}-\frac{1}{9^μ}\right)+ \cdots\right\}\\
&=\frac{2Γ(μ)}{a^μ}\left(1-\frac{1}{3^{μ-1}}+\frac{1}{5^{μ-1}}-\frac{1}{7^{μ-1}}+ \cdots\right)\\
&=\frac{2Γ(μ)}{a^μ}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^μ}=\frac{2}{a^μ}Γ(μ)β(μ-1)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}\sinh ax}{\cosh^2 ax}dx=\frac{2}{a^μ}Γ(μ)β(μ-1)$$







\((2)\) \((1)\) の式で \(μ=2\) とします。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\sinh ax}{\cosh^2 ax}dx=\frac{2}{a^2}Γ(2)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac{2}{a^2} \cdot \frac{π}{4}=\frac{π}{2a^2}$$







\((3)\) \((1)\) の式で \(μ=2n+2\) とします。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n+1}\sinh ax}{\cosh^2 ax}dx=\frac{2}{a^{2n+2}}Γ(2n+2)β(2n+1)\\
&                  =\frac{2(2n+1)!}{a^{2n+2}}\cdot \frac{π^{2n+1}|E_{2n}|}{2^{2n+2}(2n)!}=\frac{2n+1}{a}\left(\frac{π}{2a}\right)^{2n+1}|E_{2n}|
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n+1}\sinh ax}{\cosh^2 ax}dx=\frac{2n+1}{a}\left(\frac{π}{2a}\right)^{2n+1}|E_{2n}|$$






\((4)\) \((1)\) の式で \(μ=3, a=1\) とします。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\sinh x}{\cosh^2 x}dx=2Γ(3)β(2)=4G$$

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