(x^{μ-1}+x^{v-1})/(1+x)^{μ+v}[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}+x^{v-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx=B(μ,v)\\
&(2)  \displaystyle\int_1^{\infty} \frac{x^{μ-1}+x^{v-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx=B(μ,v)\\
&(3)  \displaystyle\int_a^{\infty} \frac{(x-a)^{p-1}}{x-b}dx=π(a-b)^{p-1} \csc pπ  (a \gt b)\\
&(4)  \displaystyle\int_{-\infty}^a \frac{(a-x)^{p-1}}{x-b}dx=-π(b-a)^{p-1} \csc pπ  (b \gt a)\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ,v,a,b \gt 0,\,0 \lt p \lt 1\)








<証明>

$$(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}+x^{v-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx+\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{v-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx$$右の積分について \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) と置きます。\(\displaystyle \left( dx=-\frac{1}{s^2}ds\right)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{v-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx&=\displaystyle\int_{\infty}^1 \frac{t^{1-v}}{\left(1+\frac{1}{t}\right)^{μ+v}} \left(-\frac{1}{t^2}\right)dt\\
&=\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{t^{-1-v}}{(1+t)^{μ+v}t^{-μ-v}}dt=\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{t^{μ-1}}{(1+t)^{μ+v}}dt\\
\end{alignat}となるので、元の積分は
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}+x^{v-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx&=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx+\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{t^{μ-1}}{(1+t)^{μ+v}}dt\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx=B(μ,v)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}+x^{v-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx=B(μ,v)$$







$$(2)  \displaystyle\int_1^{\infty} \frac{x^{μ-1}+x^{v-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx=\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx+\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{x^{v-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx$$右の積分について \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) と置きます。\(\displaystyle \left( dx=-\frac{1}{s^2}ds\right)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{x^{v-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx&=\displaystyle\int_1^0 \frac{t^{1-v}}{\left(1+\frac{1}{t}\right)^{μ+v}} \left(-\frac{1}{t^2}\right)dt\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{-1-v}}{(1+t)^{μ+v}t^{-μ-v}}dt=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ-1}}{(1+t)^{μ+v}}dt\\
\end{alignat}となるので、元の積分は
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{x^{μ-1}+x^{v-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx&=\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx+\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ-1}}{(1+t)^{μ+v}}dt\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx=B(μ,v)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{x^{μ-1}+x^{v-1}}{(1+x)^{μ+v}}dx=B(μ,v)$$








\((3)\) \(x-a=t\) と置きます。\((dx=dt)\)$$\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{(x-a)^{p-1}}{x-b}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{p-1}}{t+a-b}dt$$\(t=(a-b)s\) と置きます。\([dt=(a-b)ds]\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(a-b)^{p-1}s^{p-1}}{(a-b)s+(a-b)}\cdot (a-b)ds\\
&=(a-b)^{p-1}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{s^{p-1}}{s+1}ds=π(a-b)^{p-1} \csc pπ\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{(x-a)^{p-1}}{x-b}dx=π(a-b)^{p-1} \csc pπ$$







\((4)\) \(a-x=t\) と置きます。\((dx=-dt)\)$$\displaystyle\int_{-\infty}^a \frac{(a-x)^{p-1}}{x-b}dx=\displaystyle\int_{\infty}^0 \frac{t^{p-1}}{a-t-b}(-dt)$$\(t=(b-a)s\) と置きます。\([dt=(b-a)ds]\)
\begin{alignat}{2}
&=-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(b-a)^{p-1}s^{p-1}}{(b-a)s+(b-a)}\cdot (b-a)ds\\
&=-(b-a)^{p-1}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{s^{p-1}}{s+1}ds=-π(b-a)^{p-1} \csc pπ\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^a \frac{(a-x)^{p-1}}{x-b}dx=-π(b-a)^{p-1} \csc pπ$$

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