x^{μ}tan^{-1}x[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 x^μ \tan^{-1} xdx=\frac{π}{2(μ+1)}\left\{\frac{π}{2}-β\left(\frac{μ}{2}+1\right)\right\}  (μ \gt -2)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^μ \tan^{-1} xdx=\frac{π}{2(μ+1)}\csc \frac{μπ}{2}  (-2 \lt μ \lt -1)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^1 x^μ \cot^{-1} xdx=\frac{π}{2(μ+1)}\left\{\frac{π}{2}+β\left(\frac{μ}{2}+1\right)\right\}  (μ \gt -1)\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^μ \cot^{-1} xdx=-\frac{π}{2(μ+1)}\csc \frac{μπ}{2}  (-1 \lt μ \lt 0)\\
\end{alignat}










<証明>

予め、次の定積分を計算しておきます。
\begin{alignat}{2}
(A)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ+1}}{1+x^2}dx&=\displaystyle\int_0^1 x^{μ+1}\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}\right\}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \displaystyle\int_0^1 x^{μ+2n+1}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{μ+2n+2}=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\frac{μ}{2}+1+n}=\frac{1}{2}β\left(\frac{μ}{2}+1\right)\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ+1}}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}β\left(\frac{μ}{2}+1\right)$$



(B)  \(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ+1}}{1+x^2}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{μ+1}{2}}}{1+t} \cdot \frac{1}{2t^{\frac{1}{2}}}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{μ}{2}}}{1+t}dt\\
&=\frac{π}{2}\csc \left(\frac{μ}{2}+1\right)π=-\frac{π}{2}\csc \frac{μπ}{2}\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ+1}}{1+x^2}dx=-\frac{π}{2}\csc \frac{μπ}{2}$$







\((1)\) から \((4)\) まで全て部分積分を行い、\((A)\) または \((B)\) の式を代入します。

\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int_0^1 x^μ \tan^{-1} xdx&=\left[\frac{x^{μ+1}}{μ+1}\tan^{-1} x\right]_0^1 -\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ+1}}{μ+1} \cdot \frac{1}{1+x^2}dx\\
&=\frac{π}{4}\cdot \frac{1}{μ+1}-\frac{1}{μ+1}\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ+1}}{1+x^2}dx\\
&=\frac{π}{4}\cdot \frac{1}{μ+1}-\frac{1}{μ+1}\cdot \frac{1}{2}β\left(\frac{μ}{2}+1\right)\\
&=\frac{π}{2(μ+1)}\left\{\frac{π}{2}-β\left(\frac{μ}{2}+1\right)\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 x^μ \tan^{-1} xdx=\frac{π}{2(μ+1)}\left\{\frac{π}{2}-β\left(\frac{μ}{2}+1\right)\right\}  (μ \gt -2)$$







\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^μ \tan^{-1} xdx&=\left[\frac{x^{μ+1}}{μ+1}\tan^{-1} x\right]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ+1}}{μ+1} \cdot \frac{1}{1+x^2}dx\\
&=-\frac{1}{μ+1}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ+1}}{1+x^2}dx\\
&=-\frac{1}{μ+1}\left(-\frac{π}{2}\csc \frac{μπ}{2}\right)=\frac{π}{2(μ+1)}\csc \frac{μπ}{2}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^μ \tan^{-1} xdx=\frac{π}{2(μ+1)}\csc \frac{μπ}{2}  (-2 \lt μ \lt -1)$$







\begin{alignat}{2}
(3)  \displaystyle\int_0^1 x^μ \cot^{-1} xdx&=\left[\frac{x^{μ+1}}{μ+1}\cot^{-1} x\right]_0^1 +\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ+1}}{μ+1} \cdot \frac{1}{1+x^2}dx\\
&=\frac{π}{4}\cdot \frac{1}{μ+1}+\frac{1}{μ+1}\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ+1}}{1+x^2}dx\\
&=\frac{π}{4}\cdot \frac{1}{μ+1}+\frac{1}{μ+1}\cdot \frac{1}{2}β\left(\frac{μ}{2}+1\right)\\
&=\frac{π}{2(μ+1)}\left\{\frac{π}{2}+β\left(\frac{μ}{2}+1\right)\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 x^μ \cot^{-1} xdx=\frac{π}{2(μ+1)}\left\{\frac{π}{2}+β\left(\frac{μ}{2}+1\right)\right\}  (μ \gt -1)$$







\begin{alignat}{2}
(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^μ \cot^{-1} xdx&=\left[\frac{x^{μ+1}}{μ+1}\cot^{-1} x\right]_0^{\infty} +\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ+1}}{μ+1} \cdot \frac{1}{1+x^2}dx\\
&=\frac{1}{μ+1}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ+1}}{1+x^2}dx\\
&=\frac{1}{μ+1}\left(-\frac{π}{2}\csc \frac{μπ}{2}\right)=-\frac{π}{2(μ+1)}\csc \frac{μπ}{2}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^μ \tan^{-1} xdx=-\frac{π}{2(μ+1)}\csc \frac{μπ}{2}  (-1 \lt μ \lt 0)$$

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