(x^μ-x^v)/(1-x)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^μ-x^v}{1-x}dx=ψ(v+1)-ψ(μ+1)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^μ+x^v}{1-x}dx=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{μ+n}+\frac{1}{v+n}\right)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^μ-x^v}{1+x}dx=\frac{1}{2}\left\{ψ\left(\frac{μ}{2}+1\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{2}\right)+ψ\left(\frac{v+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{v}{2}+1\right)\right\}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^μ+x^v}{1+x}dx=\frac{1}{2}\left\{ψ\left(\frac{μ}{2}+1\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{v+1}{2}\right)+ψ\left(\frac{v}{2}+1\right)\right\}\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ+1 \gt 0,\,v+1 \gt 0\)









<証明>

次のディガンマ関数の定積分を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  ψ(y)-ψ(x)=\displaystyle\int_0^1\frac{u^{x-1}-u^{y-1}}{1-u}du  (x,y \gt 0)$$




\((1)\) \((A)\) の式そのものです。$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^μ-x^v}{1-x}dx=ψ(v+1)-ψ(μ+1)$$



\((2)\) \(\displaystyle \frac{1}{1-x}\) を級数で表します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \frac{x^μ+x^v}{1-x}dx&=\displaystyle\int_0^1 (x^μ+x^v)\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}\right)dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\int_0^1 (x^{μ+n-1}+x^{v+n-1})dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac{x^{μ+n}}{μ+n}+\frac{x^{v+n}}{v+n}\right]_0^1\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{μ+n}+\frac{1}{v+n}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^μ+x^v}{1-x}dx=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{μ+n}+\frac{1}{v+n}\right)$$







\((3)\) 分子と分母に \(1-x\) を掛けます。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \frac{x^μ-x^v}{1+x}dx&=\displaystyle\int_0^1 \frac{(x^μ-x^v)(1-x)}{(1+x)(1-x)}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^μ-x^{μ+1}-x^v+x^{v+1}}{1-x^2}dx\\
\end{alignat}\(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{μ}{2}}-t^{\frac{μ+1}{2}}-t^{\frac{v}{2}}+t^{\frac{v+1}{2}}}{1-t} \cdot \frac{1}{2t^{\frac{1}{2}}}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{μ-1}{2}}-t^{\frac{μ}{2}}-t^{\frac{v-1}{2}}+t^{\frac{v}{2}}}{1-t}dt\\
&=\frac{1}{2}\left\{ψ\left(\frac{μ}{2}+1\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{2}\right)+ψ\left(\frac{v+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{v}{2}+1\right)\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^μ-x^v}{1+x}dx=\frac{1}{2}\left\{ψ\left(\frac{μ}{2}+1\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{2}\right)+ψ\left(\frac{v+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{v}{2}+1\right)\right\}$$







\((4)\) 分子と分母に \(1-x\) を掛けます。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \frac{x^μ+x^v}{1+x}dx&=\displaystyle\int_0^1 \frac{(x^μ+x^v)(1-x)}{(1+x)(1-x)}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^μ-x^{μ+1}+x^v-x^{v+1}}{1-x^2}dx\\
\end{alignat}\(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{μ}{2}}-t^{\frac{μ+1}{2}}+t^{\frac{v}{2}}-t^{\frac{v+1}{2}}}{1-t} \cdot \frac{1}{2t^{\frac{1}{2}}}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{μ-1}{2}}-t^{\frac{μ}{2}}+t^{\frac{v-1}{2}}-t^{\frac{v}{2}}}{1-t}dt\\
&=\frac{1}{2}\left\{ψ\left(\frac{μ}{2}+1\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{v+1}{2}\right)+ψ\left(\frac{v}{2}+1\right)\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^μ+x^v}{1+x}dx=\frac{1}{2}\left\{ψ\left(\frac{μ}{2}+1\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{v+1}{2}\right)+ψ\left(\frac{v}{2}+1\right)\right\}$$

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