x^{n-1}e^{-px}/(1+e^x)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}e^{-px}}{1+e^x}dx=(n-1)!\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{(p+m)^n}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}(1-e^{-mx})}{e^x-1}dx=(n-1)!\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k^n}\\
&(3)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{xe^{μx}}{e^{vx}-1}dx=\left(\frac{π}{v}\csc \frac{μπ}{v}\right)^2\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ,v \gt 0,\,n,m \in \mathrm{N}\)







<証明>

\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}e^{-px}}{1+e^x}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}e^{-(p+1)x}}{1+e^{-x}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-1}e^{-(p+1)x}\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m e^{-mx}dx\\
&=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-1} e^{-(p+m+1)x}dx\\
&=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m(n-1)!}{(p+m+1)^n}=(n-1)!\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{(p+m)^n}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}e^{-px}}{1+e^x}dx=(n-1)!\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{(p+m)^n}$$






\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}(1-e^{-mx})}{e^x-1}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-1}\{e^{-x}-e^{-(m+1)x}\}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} e^{-kx}dx\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-1}e^{-(k+1)x}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-1}e^{-(m+k+1)x}dx\right\}\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \left\{\frac{(n-1)!}{(k+1)^n}-\frac{(n-1)!}{(m+k+1)^n}\right\}\\
&=(n-1)!\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \left\{\frac{1}{(k+1)^n}-\frac{1}{(m+k+1)^n}\right\}=(n-1)!\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k^n}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}(1-e^{-mx})}{e^x-1}dx=(n-1)!\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k^n}$$







\((3)\) 次の定積分を \(I(μ)\) と置きます。$$I(μ)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{μx}}{e^{vx}-1}dx$$\(I(μ)\) を \(μ\) で微分します。$$I’(μ)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{xe^{μx}}{e^{vx}-1}dx$$となるので \(I’(μ)\) を求めます。

\(e^{vx}=t\) と置きます。\((vtdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
I(μ)&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{μx}}{e^{vx}-1}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{μ}{v}}}{t-1}\cdot \frac{1}{vt}dt\\
&=-\frac{1}{v}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac
{t^{\frac{μ}{v}-1}}{1-t}dt=-\frac{1}{v}\cdot π\cot \frac{μπ}{v}\\
\end{alignat}\(I(μ)\) を \(μ\) で微分します。$$I’(μ)=\frac{π^2}{v^2}\csc^2 \frac{μπ}{v}=\left(\frac{π}{v}\csc \frac{μπ}{v}\right)^2$$以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{xe^{μx}}{e^{vx}-1}dx=\left(\frac{π}{v}\csc \frac{μπ}{v}\right)^2$$
 

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