(x^{n-1}+x^{n-(2/3)}+x^{n-(1/3)}-3x^{3n-1})/(1-x)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n-1}+x^{n-\frac{1}{2}}-2x^{2n-1}}{1-x}dx=2 \log 2\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n-1}+x^{n-\frac{2}{3}}-x^{n-\frac{1}{3}}-3x^{3n-1}}{1-x}dx=3 \log 3\\
&(3) \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{x-1}\left(x^{nm-1}-\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{m+\frac{k}{n}-1}\right)dx=\log n 
\end{alignat}ただし、全て \(m,n \in \mathrm{N}\)











<証明>

次のディガンマ関数における等式を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  ψ(2x)=\frac{1}{2}ψ(x)+\frac{1}{2}ψ\left(x+\frac{1}{2}\right)+ \log 2\\
&(B)  ψ(3x)=\frac{1}{3}ψ(x)+\frac{1}{3}ψ\left(x+\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}ψ\left(x+\frac{2}{3}\right) +\log 3\\
&(C)  ψ(nx)=\log n +\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} ψ\left(x+\frac{k}{n}\right)
\end{alignat}







<証明>

\((1)\) \((A)\) の式を移項して \(x=n\) とすると$$2ψ(2n)-ψ(n)-ψ\left(n+\frac{1}{2}\right)=2\log 2$$途中、この式を用います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n-1}+x^{n-\frac{1}{2}}-2x^{2n-1}}{1-x}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n-1}-x^{2n-1}+x^{n-\frac{1}{2}}-x^{2n-1}}{1-x}dx\\
&                         =ψ(2n)-ψ(n)+ψ(2n)-ψ\left(n+\frac{1}{2}\right)\\
&                         =2ψ(2n)-ψ(n)-ψ\left(n+\frac{1}{2}\right)=2\log 2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n-1}+x^{n-\frac{1}{2}}-2x^{2n-1}}{1-x}dx=2 \log 2$$







\((2)\) \((B)\) の式を移項して \(x=n\) とすると$$3ψ(3n)-ψ\left(n+\frac{1}{3}\right)-ψ\left(n+\frac{2}{3}\right)=3\log 3$$途中、この式を用います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n-1}+x^{n-\frac{2}{3}}-x^{n-\frac{1}{3}}-3x^{3n-1}}{1-x}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n-1}-x^{3n-1}+x^{n-\frac{2}{3}}-x^{3n-1}+x^{\frac{1}{3}}-x^{3n-1}}{1-x}dx\\
&                               =ψ(3n)-ψ(n)+ψ(3n)-ψ\left(n+\frac{1}{3}\right)+ψ(3n)-ψ\left(n+\frac{2}{3}\right)\\
&                               =3ψ(3n)-ψ(n)-ψ\left(n+\frac{1}{3}\right)-ψ\left(n+\frac{2}{3}\right)=3\log 3\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n-1}+x^{n-\frac{2}{3}}-x^{n-\frac{1}{3}}-3x^{3n-1}}{1-x}dx=3 \log 3$$







\((3)\) \((C)\) の式を移項して \(x=m\) とすると$$nψ(nm)-\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} ψ\left(x+\frac{k}{n}\right)=n \log n$$途中、この式を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{x-1}\left(x^{nm-1}-\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{m+\frac{k}{n}-1}\right)dx\\
&=\frac{1}{n}\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1-x}\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} x^{m+\frac{k}{n}-1}-nx^{nm-1}\right)dx\\
&=\frac{1}{n}\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{m-1}+x^{m+\frac{1}{n}-1}+x^{m+\frac{2}{n}-1}+ \cdots +x^{m-\frac{n-1}{n}-1}-nx^{nm-1}}{1-x}dx\\
&=\frac{1}{n}\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{m-1}-x^{nm-1}+x^{m+\frac{1}{n}-1}-x^{nm-1}+x^{m+\frac{2}{n}-1}-x^{nm-1}+ \cdots +x^{m-\frac{n-1}{n}-1}-x^{nm-1}}{1-x}dx\\
&=\frac{1}{n}\left\{ψ(nm)-ψ(m)+ψ(nm)-ψ\left(m+\frac{1}{n}\right)+ψ(nm)-ψ\left(m+\frac{2}{n}\right)+ \cdots +ψ(nm)-ψ\left(m+\frac{n-1}{n}\right) \right\}\\
&=\frac{1}{n}\left\{nψ(nm)-\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} ψ\left(x+\frac{k}{n}\right)\right\}=\frac{1}{n}\cdot n \log n=\log n
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{x-1}\left(x^{nm-1}-\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{m+\frac{k}{n}-1}\right)dx=\log n$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です