x^ne^{-ax}cosbx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} x^n e^{-ax}\cos bxdx\\
&=n!\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)^{n+1} \displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n+1}(-1)^k {}_{n+1} \mathrm{C}_{2k} \left(\frac{b}{a}\right)^{2k}=(-1)^n \frac{\partial^n}{\partial a^n}\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} x^n e^{-ax}\sin bxdx\\
&=n!\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)^{n+1} \displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n}(-1)^k {}_{n+1} \mathrm{C}_{2k+1} \left(\frac{b}{a}\right)^{2k+1}=(-1)^n \frac{\partial^n}{\partial a^n}\left(\frac{b}{a^2+b^2}\right)
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)







<証明>

次のように、それぞれ求める積分を \(I,J\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&I=\displaystyle\int_0^{\infty} x^n e^{-ax}\cos bxdx\\
&J=\displaystyle\int_0^{\infty} x^n e^{-ax}\sin bxdx\\
\end{alignat}\(I+iJ\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
&I+iJ=\displaystyle\int_0^{\infty} x^n e^{-ax}(\cos bx+i\sin bx)dx\\
&     =\displaystyle\int_0^{\infty} x^n e^{-ax}e^{ibx}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} x^n e^{-(a-ib)x}dx\\
&     =\left[-\frac{x^n}{a-ib}e^{-(a-ib)x}\right]_0^{\infty}+\frac{n}{a-ib}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-1}e^{-(a-ib)x}dx\\
&     =\frac{n}{a-ib}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-1}e^{-(a-ib)x}dx\\
&     =\frac{n}{a-ib}\left\{\left[-\frac{x^{n-1}}{a-ib}e^{-(a-ib)x}\right]_0^{\infty}+\frac{(n-1)}{a-ib}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-2}e^{-(a-ib)x}dx\right\}\\
&     =\frac{n(n-1)}{(a-ib)^2}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-2}e^{-(a-ib)x}dx\\
&\\
&                        \cdots\\
&\\
&     =\frac{n!}{(a-ib)^n}\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-(a-ib)x}dx\\
&     =\frac{n!}{(a-ib)^n}\left[-\frac{1}{a-ib}e^{-(a-ib)x}\right]_0^{\infty}\\
&     =\frac{n!}{(a-ib)^{n+1}}=\frac{n!(a+ib)^{n+1}}{(a^2+b^2)^{n+1}}
\end{alignat}
次に \((a+ib)^{n+1}\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
&(a+ib)^{n+1}={}_{n+1} \mathrm{C}_0 a^{n+1}+{}_{n+1} \mathrm{C}_1 a^n(ib)+{}_{n+1} \mathrm{C}_2 a^{n-1}(ib)^2+{}_{n+1} \mathrm{C}_3 a^{n-2}(ib)^3+{}_{n+1} \mathrm{C}_4 a^{n-3}(ib)^4+{}_{n+1} \mathrm{C}_5 a^{n-4}(ib)^5+ \cdots \\
&                    +{}_{n+1} \mathrm{C}_{n-2} a^3(ib)^{n-2}+{}_{n+1} \mathrm{C}_{n-1} a^2(ib)^{n-1}+{}_{n+1} \mathrm{C}_n a(ib)^n+{}_{n+1} \mathrm{C}_{n+1} (ib)^{n+1}\\
&         =({}_{n+1} \mathrm{C}_0 a^{n+1}-{}_{n+1} \mathrm{C}_2 a^{n-1}b^2+{}_{n+1} \mathrm{C}_4 a^{n-3}b^4- \cdots )\\
&                    +i({}_{n+1} \mathrm{C}_1 a^nb-{}_{n+1} \mathrm{C}_1 a^{n-2}b^3+{}_{n+1} \mathrm{C}_5 a^{n-4}b^5- \cdots )\\
&         =\displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n+1} (-1)^k {}_{n+1} \mathrm{C}_{2k}a^{n+1-2k}b^{2k}+i\left\{\displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n} (-1)^k {}_{n+1} \mathrm{C}_{2k+1}a^{n-2k}b^{2k+1}\right\}
\end{alignat}となるので$$I+iJ=\frac{n!}{(a^2+b^2)^{n+1}}\left[\displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n+1} (-1)^k {}_{n+1} \mathrm{C}_{2k}a^{n+1-2k}b^{2k}+i\left\{\displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n} (-1)^k {}_{n+1} \mathrm{C}_{2k+1}a^{n-2k}b^{2k+1}\right\}\right]$$実部と虚部を比較します。
\begin{alignat}{2}
&I=\frac{n!}{(a^2+b^2)^{n+1}}\displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n+1} (-1)^k {}_{n+1} \mathrm{C}_{2k}a^{n+1-2k}b^{2k}\\
& =n!\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)^{n+1} \displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n+1}(-1)^k {}_{n+1} \mathrm{C}_{2k} \left(\frac{b}{a}\right)^{2k}
&\\
&J=\frac{n!}{(a^2+b^2)^{n+1}}\displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n} (-1)^k {}_{n+1} \mathrm{C}_{2k+1}a^{n-2k}b^{2k+1}\\
& =n!\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)^{n+1} \displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n}(-1)^k {}_{n+1} \mathrm{C}_{2k+1} \left(\frac{b}{a}\right)^{2k+1}\\
\end{alignat}
以上より
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} x^n e^{-ax}\cos bxdx=n!\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)^{n+1} \displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n+1}(-1)^k {}_{n+1} \mathrm{C}_{2k} \left(\frac{b}{a}\right)^{2k}\\
&\displaystyle\int_0^{\infty} x^n e^{-ax}\sin bxdx=n!\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)^{n+1} \displaystyle\sum_{0 \leq 2k \leq n}(-1)^k {}_{n+1} \mathrm{C}_{2k+1} \left(\frac{b}{a}\right)^{2k+1}\\
\end{alignat}





また次のように \(I(a),J(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cos bxdx,  J(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sin bxdx$$それぞれ \(a\) で \(n\) 回微分すると$$I^{(n)}(a)=(-1)^n\displaystyle\int_0^{\infty} x^ne^{-ax} \cos bxdx,  J^{(n)}(a)=(-1)^n\displaystyle\int_0^{\infty} x^ne^{-ax} \sin bxdx$$ずなわち
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} x^ne^{-ax} \cos bxdx=(-1)^n I^{(n)}(a)\\
&\displaystyle\int_0^{\infty} x^ne^{-ax} \sin bxdx=(-1)^n J^{(n)}(a)\\
\end{alignat}ところで \(I(a),J(a)\) をそれぞれ計算すると
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cos bxdx=\left[\frac{e^{-ax}}{a^2+b^2}(b \sin bx -a \cos bx)\right]_0^{\infty}=\frac{a}{a^2+b^2}\\
&\\
&J(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sin bxdx=\left[\frac{e^{-ax}}{a^2+b^2}(-a \sin bx -b \cos bx)\right]_0^{\infty}=\frac{b}{a^2+b^2}\\
\end{alignat}となり \(n\) 回微分すれば$$I^{(n)}(a)=\frac{\partial^n}{\partial a^n}\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right),  J^{(n)}(a)=\frac{\partial^n}{\partial a^n}\left(\frac{b}{a^2+b^2}\right)$$であるので、以上より
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} x^ne^{-ax} \cos bxdx=(-1)^n\frac{\partial^n}{\partial a^n}\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)\\
&\displaystyle\int_0^{\infty} x^ne^{-ax} \sin bxdx=(-1)^n\frac{\partial^n}{\partial a^n}\left(\frac{b}{a^2+b^2}\right) \\
\end{alignat}
















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