x^{p-1}/(1+x^q)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}+x^{q-p-1}}{1+x^q}dx=\frac{π}{q}\csc \frac{pπ}{q}\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}-x^{q-p-1}}{1-x^q}dx=\frac{π}{q}\cot \frac{pπ}{q}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x^q}dx=\frac{π}{q}\csc \frac{pπ}{q}\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{1-x^q}dx=\frac{π}{q}\cot \frac{pπ}{q}\\
&(5) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p+q-1}}{(1+x^q)^2}dx=\frac{pπ}{q^2}\csc \frac{pπ}{q}\\
\end{alignat}ただし、全て \(0 \lt p \lt q\)







<証明>

\((1)\) から \((5)\) まで \(x^q=t\) と置きます。\((qx^{q-1}=dt)\)


\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}+x^{q-p-1}}{1+x^q}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p-1}{q}}+t^{\frac{q-p-1}{q}}}{1+t} \cdot \frac{1}{qt^{\frac{q-1}{q}}}dt\\
&                     =\frac{1}{q}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p}{q}-1}+t^{-\frac{p}{q}}}{1+t}dt=\frac{π}{q}\csc \frac{pπ}{q}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}+x^{q-p-1}}{1+x^q}dx=\frac{π}{q}\csc \frac{pπ}{q}$$







\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}-x^{q-p-1}}{1-x^q}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p-1}{q}}-t^{\frac{q-p-1}{q}}}{1-t} \cdot \frac{1}{qt^{\frac{q-1}{q}}}dt=\frac{1}{q}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p}{q}-1}-t^{-\frac{p}{q}}}{1-t}dt\\
&                     =\frac{1}{q}\left\{ψ\left(1-\frac{p}{q}\right)-ψ\left(\frac{p}{q}\right)\right\}=\frac{π}{q}\cot \frac{pπ}{q}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}-x^{q-p-1}}{1-x^q}dx=\frac{π}{q}\cot \frac{pπ}{q}$$







\begin{alignat}{2}
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x^q}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{p-1}{q}}}{1+t} \cdot \frac{1}{qt^{\frac{q-1}{q}}}dt=\frac{1}{q}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{p}{q}-1}}{1+t}dt\\
&                =\frac{1}{q}B\left(\frac{p}{q},1-\frac{p}{q}\right)=\frac{π}{q}\csc\frac{pπ}{q}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x^q}dx=\frac{π}{q}\csc \frac{pπ}{q}$$






\((4)\) 置き換えた後、積分区間を \([0,1]\) と \([1,∞]\) で切り離します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{1-x^q}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{p-1}{q}}}{1-t} \cdot \frac{1}{qt^{\frac{q-1}{q}}}dt\frac{1}{q}=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{p}{q}-1}}{1-t}dt\\
&            =\frac{1}{q}\left(\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p}{q}-1}}{1-t}dt+\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{t^{\frac{p}{q}-1}}{1-t}dt\right)
\end{alignat}右側の積分について \(\displaystyle t=\frac{1}{s}\) と置きます。\(\displaystyle\left(dt=-\frac{1}{s^2}ds\right)\)$$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{t^{\frac{p}{q}-1}}{1-t}dt=\displaystyle\int_1^0 \frac{s^{-\frac{p}{q}+1}}{1-\frac{1}{s}} \cdot \left(-\frac{1}{s^2}\right)dt=\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{-\frac{p}{q}}}{s-1}dt=-\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{-\frac{p}{q}}}{1-t}dt$$となるので、元の積分計算は
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{q}\left(\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p}{q}-1}}{1-t}dt-\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{-\frac{p}{q}}}{1-t}dt\right)\\
&=\frac{1}{q}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p}{q}-1}-t^{-\frac{p}{q}}}{1-t}dt=\frac{1}{q}\left\{ψ\left(1-\frac{p}{q}\right)-ψ\left(\frac{p}{q}\right)\right\}=\frac{π}{q}\cot \frac{pπ}{q}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{1-x^q}dx=\frac{π}{q}\cot \frac{pπ}{q}$$







$$(5) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p+q-1}}{(1+x^q)^2}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{p+q-1}{q}}}{(1+t)^2} \cdot \frac{1}{qt^{\frac{q-1}{q}}}dt=\frac{1}{q}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{p}{q}}}{(1+t)^2}dt$$部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{q}\left\{\left[-\frac{t^{\frac{p}{q}}}{1+t}\right]_0^{\infty}+ \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{1+t} \cdot \frac{p}{q} \cdot t^{\frac{p}{q}-1}dt\right\}\\
&=\frac{p}{q^2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{p}{q}-1}}{1+t}dt=\frac{p}{q^2}B\left(\frac{p}{q},1-\frac{p}{q}\right)=\frac{pπ}{q^2}\csc\frac{pπ}{q}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p+q-1}}{(1+x^q)^2}dx=\frac{pπ}{q^2}\csc \frac{pπ}{q}$$

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