x^{p-1}/(x+a)(x^2+b^2)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{-μ}}{1+x^3}dx=\frac{π}{3}\csc \left(\frac{1-μ}{3}\right)π  ( -2 \lt μ \lt 1)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(x^2+a^2)(x^2-b^2)}dx\\
&=-\frac{π}{a^2+b^2}\left(a^{p-2}+b^{p-2} \cos \frac{pπ}{2}\right)\csc \frac{pπ}{2}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}dx\\
&=\frac{π}{b^2-a^2}\left(a^{p-2}-b^{p-2}\right)\csc \frac{pπ}{2}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(x+a)(x^2+b^2)}dx\\
&=\frac{π}{a^2+b^2}\left(2a^{p-1} \csc pπ-b^{p-1} \sec \frac{pπ}{2}+ab^{p-1} \csc \frac{pπ}{2}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0,\,0 \lt p \lt 1\)









<証明>

\((1)\) \(x^3=t\) と置きます。\((3x^2dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{-μ}}{1+x^3}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{-\frac{μ}{3}}} {1+t} \cdot \frac{1}{3t^{\frac{2}{3}}}dt=\frac{1}{3}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{-\frac{μ+2}{3}}}{1+t}dt\\
&=\frac{1}{3} \cdot π\csc \left(\frac{1-μ}{3}\right)π=\frac{π}{3}\csc \left(\frac{1-μ}{3}\right)π
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{-μ}}{1+x^3}dx=\frac{π}{3}\csc \left(\frac{1-μ}{3}\right)π  ( -2 \lt μ \lt 1)$$






以降全て、部分分数分解を行います。

\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(x^2+a^2)(x^2-b^2)}dx\\
&= \frac{1}{a^2+b^2}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1} \left(\frac{1}{x^2-b^2}-\frac{1}{x^2+a^2}\right)dx\\
&=\frac{1}{a^2+b^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{x^2-b^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{x^2+a^2}dx\right)\\
\end{alignat}それぞれ積分を計算します。

\((α)\) \(x^2=b^2t\) と置きます。\((2xdx=b^2dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{x^2-b^2}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{b^{p-1} t^{\frac{p-1}{2}}}{b^2t-b^2} \cdot \frac{b^2}{2bt^{\frac{1}{2}}}dt=\frac{b^{p-2}}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{p}{2}-1}}{t-1}dt\\
&=\frac{b^{p-2}}{2} \left(-π\cot \frac{pπ}{2}\right)=-\frac{πb^{p-2}}{2}\cot \frac{pπ}{2}\\
\end{alignat}
\((β)\) \(x^2=a^2t\) と置きます。\((2xdx=a^2dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{x^2+a^2}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{a^{p-1} a^{\frac{p-1}{2}}}{a^2t-b^2} \cdot \frac{a^2}{2at^{\frac{1}{2}}}dt=\frac{a^{p-2}}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{p}{2}-1}}{t+1}dt\\
&=\frac{a^{p-2}}{2} \cdot π\csc \frac{pπ}{2}=\frac{πa^{p-2}}{2}\csc\frac{pπ}{2}\\
\end{alignat}よって
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{a^2+b^2}\left(-\frac{πb^{p-2}}{2}\cot \frac{pπ}{2}-\frac{πa^{p-2}}{2}\csc\frac{pπ}{2}\right)\\
&=-\frac{π}{a^2+b^2}\left(a^{p-2}+b^{p-2} \cos \frac{pπ}{2}\right)\csc \frac{pπ}{2}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(x^2+a^2)(x^2-b^2)}dx=-\frac{π}{a^2+b^2}\left(a^{p-2}+b^{p-2} \cos \frac{pπ}{2}\right)\csc \frac{pπ}{2}$$





\begin{alignat}{2}
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}dx\\
&=\frac{1}{b^2-a^2}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1}\left(\frac{1}{x^2+a^2}-\frac{1}{x^2+b^2}\right)dx\\
&=\frac{1}{b^2-a^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{x^2+a^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{x^2+b^2}dx\right)\\
\end{alignat}積分計算は \((2)\) の \((β)\) と同様であるので
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{b^2-a^2}\left(\frac{πa^{p-2}}{2}\csc\frac{pπ}{2}-\frac{πb^{p-2}}{2}\csc\frac{pπ}{2}\right)\\
&=\frac{π}{b^2-a^2}\left(a^{p-2}-b^{p-2}\right)\csc \frac{pπ}{2}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}dx=\frac{π}{b^2-a^2}\left(a^{p-2}-b^{p-2}\right)\csc \frac{pπ}{2}$$







\((4)\) 次のように被積分関数が部分分数分解できたとします。$$\frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+b^2}=\frac{1}{(x+a)(x^2+b^2)}$$\(A,B,C\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
A(x^2+b^2)+(Bx+C)(x+a)&=1\\
&\\
Ax^2+Ab^2+Bx^2+Bax+Cx+Ca&=1\\
&\\
(A+B)x^2+(Ba+C)x+Ab^2+Ca=1\\
\end{alignat}よって$$A+B=0,  Ba^2+C=0,  Ab^2+Ca^2=1$$を得るので、これを解くと$$A=\frac{1}{a^2+b^2},  B=-\frac{1}{a^2+b^2},  C=\frac{a}{a^2+b^2}$$であるから、求める積分は、次のようになります。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(x+a)(x^2+b^2)}dx\\
&=\frac{1}{a^2+b^2}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1}\left(\frac{1}{x+a}-\frac{x-a}{x^2+b^2}\right)dx\\
&=\frac{1}{a^2+b^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{x+a}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p}}{x^2+b^2}dx+a\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{x^2+b^2}dx\right)
\end{alignat}右 \(2\) つの積分は \((1)\) の \((β)\) と同様です。

左の積分について \(x=at\) と置きます。\((dx=adt)\)$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{x+a}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{a^{p-1}t^{p-1}}{at+a} \cdot adt=a^{p-1}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{p-1}}{t+a}dt=πa^{p-1} \csc pπ$$となるので
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{a^2+b^2}\left\{πa^{p-1} \csc pπ-\frac{πb^{p-1}}{2}\csc\frac{(p+1)π}{2}+\frac{πab^{p-2}}{2}\csc\frac{pπ}{2}\right\}\\
&=\frac{π}{a^2+b^2}\left(2a^{p-1} \csc pπ-b^{p-1} \sec \frac{pπ}{2}+ab^{p-1} \csc \frac{pπ}{2}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(x+a)(x^2+b^2)}dx=\frac{π}{a^2+b^2}\left(2a^{p-1} \csc pπ-b^{p-1} \sec \frac{pπ}{2}+ab^{p-1} \csc \frac{pπ}{2}\right)$$

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