((x^μ-1)/x(logx)^2-p/logx)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \left\{\frac{x^p-1}{x(\log x)^2}-\frac{p}{\log x}\right\}dx=p \log p-p\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \left\{\frac{1}{\log x}+\frac{1+x}{2(1-x)}\right\}\frac{x^{p-1}}{\log x}dx=-\log Γ(p)+\left(p-\frac{1}{2}\right)\log p-p+\frac{1}{2}\log 2π\\
\end{alignat}ただし、全て \(p \gt 0\)











<証明>

次の定積分の結果を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{v-1}}{\log x}dx=\log \frac{μ}{v}  (μ,v \gt 0)\\
&(B)  \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{\log x}+\frac{1}{1-x}\right)dx=γ\\
\end{alignat}


\((1)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \left\{\frac{x^p-1}{x(\log x)^2}-\frac{p}{\log x}\right\}x^adx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
I’(a)&=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^p-1}{x\log x}-p\right)x^adx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^{p+a-1}-x^{a-1}}{\log x}-px^a\right)dx\\
&=\log \frac{p+a}{a}-\frac{p}{a+1}\\
\end{alignat}両辺を \(a\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
I(a)&=(p+a)\log (p+a)-a \log a -p \log (a+1)+C\\
&=p\log (p+a)+a \log (p+a)-a \log a-p \log (a+1)+C\\
&=a \log \left(1+\frac{p}{a}\right)+p \log \frac{a+p}{a+1}+C\\
&=\log \left\{\left(1+\frac{p}{a}\right)^{\frac{a}{p}}\right\}^p+p \log \frac{a+p}{a+1}+C\\
\end{alignat}\(a \to \infty\) とします。$$I(\infty)=p+C=0,  C=-p$$よって$$I(a)=(p+a)\log (p+a)-a \log a -p \log (a+1)-p$$\(a=0\) とします。$$I(0)=p \log p-p$$以上より$$\displaystyle\int_0^1 \left\{\frac{x^p-1}{x(\log x)^2}-\frac{p}{\log x}\right\}dx=p \log p-p$$








\((2)\) 求める定積分を \(I(p)\) を置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^1 \left\{\frac{1}{\log x}+\frac{1+x}{2(1-x)}\right\}\frac{x^{p-1}}{\log x}dx$$\(I(p)\) を \(p\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
I’(p)&=\displaystyle\int_0^1 \left\{\frac{1}{\log x}+\frac{1+x}{2(1-x)}\right\}x^{p-1}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^{p-1}}{\log x}+\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{p-1}+x^p}{1-x}\right)dx\\
\end{alignat}\(\displaystyle \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{\log x}+\frac{1}{1-x}\right)dx \) を引いて加えます。
\begin{alignat}{2}
I’(p)&=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^{p-1}-1}{\log x}+\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{p-1}-1+x^p-1}{1-x}\right)dx+\displaystyle \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{\log x}+\frac{1}{1-x}\right)dx\\
&=\log p+\frac{1}{2}\left\{ψ(1)-ψ(p)+ψ(1)-ψ(p+1)\right\}+γ\\
&=\log p-\frac{1}{2}ψ(p)-\frac{1}{2}ψ(p+1)\\
\end{alignat}両辺を \(p\) で積分します。$$I(p)=p \log p-p -\frac{1}{2}\log Γ(p)-\frac{1}{2}\log Γ(p+1)+C$$ここでガンマ関数の近似式$$Γ(x)≒\sqrt{2π}e^{-x}x^{x-\frac{1}{2}}$$及び \(I(∞)=0\) を用いて定数 \(C\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
I(p)&≒p \log p-p -\frac{1}{2}\log \sqrt{2π} e^{-p} p^{p-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\log \sqrt{2π} e^{-p-1} (p+1)^{p+\frac{1}{2}}+C\\
&=p \log p-p -\frac{1}{4}\log 2π +\frac{1}{2}p-\frac{1}{2}\left(p-\frac{1}{2}\right)\log p-\frac{1}{4} \log 2π +\frac{1}{2}(p+1)-\frac{1}{2}\left(p+\frac{1}{2}\right)\log (p+1)+C\\
&=\frac{1}{2}p \log p -\frac{1}{2}\log 2π +\frac{1}{4} \log p+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}p\log (p+1)-\frac{1}{4}\log (p+1)+C\\
&=-\frac{1}{2}p \log \left(1+\frac{1}{p}\right)-\frac{1}{4} \log \left(1+\frac{1}{p}\right) -\frac{1}{2}\log 2π+\frac{1}{2}+C\\
&=-\frac{1}{2}\log \left(1+\frac{1}{p}\right)^p-\frac{1}{4} \log\left(1+\frac{1}{p}\right) -\frac{1}{2}\log 2π+\frac{1}{2}+C\\
\end{alignat}\(p \to \infty\) とします。$$I(\infty)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\log 2π+\frac{1}{2}+C=0,  C=\frac{1}{2}\log 2π$$よって
\begin{alignat}{2}
I(p)&=p \log p-p -\frac{1}{2}\log Γ(p)-\frac{1}{2}\log Γ(p+1)+\frac{1}{2}\log 2π\\
&=p \log p-p -\frac{1}{2}\log Γ(p)-\frac{1}{2}\log pΓ(p)+\frac{1}{2}\log 2π\\
&=p \log p-p -\frac{1}{2}\log Γ(p)-\frac{1}{2}\log p-\frac{1}{2}\log Γ(p)+\frac{1}{2}\log 2π\\
&=-\log Γ(p)+\left(p-\frac{1}{2}\right)\log p-p+\frac{1}{2}\log 2π
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \left\{\frac{1}{\log x}+\frac{1+x}{2(1-x)}\right\}\frac{x^{p-1}}{\log x}dx=-\log Γ(p)+\left(p-\frac{1}{2}\right)\log p-p+\frac{1}{2}\log 2π$$

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