x^{p-1}logx/(1-x)^{p+1}[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}\log x}{(1-x)^{p+1}}dx=-\frac{π}{p}\mathrm{csc} \ pπ  (0 \lt p \lt 1)\\
&(2) \displaystyle\int_1^{\infty} (x-1)^{p-1} \log xdx=\frac{π}{p}\mathrm{csc} \ pπ  (-1 \lt p \lt 0)\\
\end{alignat}







\((1)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{a+p-1}}{(1-x)^{p+1}}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)x^{a+p-1}}{(1-x)^{p+1}}dx$$\(a=0\) とすると$$I’(0)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}\log x}{(1-x)^{p+1}}dx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{a+p-1}}{(1-x)^{p+1}}dx=\displaystyle\int_0^1 x^{a+p-1}(1-x)^{-p-1}dx\\
&    =B(a+p,-p)=\frac{Γ(a+p)Γ(-p)}{Γ(a)}=Γ’(-p) \cdot \frac{Γ(a+p)}{Γ(a)}
\end{alignat}\(I(a)\) を \(a\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I’(a)=Γ(-p)\cdot \frac{Γ’(a+p)Γ(a)-Γ(a+p)Γ’(a)}{\{Γ(a)\}^2}\\
&    =-\frac{Γ(1-p)}{p} \cdot \frac{Γ(a+p)}{Γ(a)}\left\{\frac{Γ’(a+p)}{Γ(a+p)}-\frac{Γ’(a)}{Γ(a)}\right\}\\
&    =-\frac{Γ(1-p)}{p} \cdot \frac{Γ(a+p)}{Γ(a)}\left\{ψ(a+p)-ψ(a)\right\}\\
&    =-\frac{Γ(1-p)Γ(a+p)}{p}\left\{\frac{ψ(a+p)}{Γ(a)}-\frac{ψ(a)}{Γ(a)}\right\}\\
\end{alignat}ここで \(a \to 0\) としたとき
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\lim_{a \to 0} \frac{ψ(a+p)}{Γ(a)}=\displaystyle\lim_{a \to 0} \frac{aψ(a+p)}{Γ(a+1)}=\frac{0 \cdot ψ(p)}{Γ(1)}=0\\
&\displaystyle\lim_{a \to 0} \frac{ψ(a)}{Γ(a)}=\displaystyle\lim_{a \to 0} \frac{a\left\{ψ(a+1)-\frac{1}{a}\right\}}{Γ(a+1)}=\displaystyle\lim_{a \to 0} \frac{aψ(a+1)-1}{Γ(a+1)}=\frac{0 \cdot (-γ)-1}{Γ(1)}=-1
\end{alignat}となるので \(a=0\) のとき$$I’(0)=-\frac{Γ(1-p)Γ(p)}{p}=-\frac{1}{p} \cdot \frac{π}{\sin pπ}=-\frac{π}{p}\mathrm{csc} \ pπ$$以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}\log x}{(1-x)^{p+1}}dx=-\frac{π}{p}\mathrm{csc} \ pπ$$







\((2)\) \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) と置きます。\(\displaystyle \left(dx=-\frac{1}{t^2}dt\right)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_1^{\infty} (x-1)^{p-1} \log xdx=\displaystyle\int_1^0 \left(\frac{1}{t}-1\right)^{p-1}\left(\log \frac{1}{t}\right)\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt\\
&                  =\displaystyle\int_0^1 (1-t)^{p-1}t^{-p+1}(-\log t)t^{-2}dt\\
&                  =-\displaystyle\int_0^1 t^{-p-1}(1-t)^{p-1}\log tdt\\
\end{alignat}次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 t^{a-p-1}(1-t)^{p-1}dt$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^1 (\log t)t^{a-p-1} (1-t)^{p-1}dx$$\(a=0\) とすると$$I’(0)=\displaystyle\int_0^1 t^{-p-1}(1-t)^{p-1}\log tdt$$となるので \(I’(0)\) を求めます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 t^{a-p-1}(1-t)^{p-1}dt=B(a-p,p)=\frac{Γ(a-p)Γ(p)}{Γ(a)}=Γ(p) \cdot \frac{Γ(a-p)}{Γ(a)}$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I’(a)=Γ(p)\cdot \frac{Γ’(a-p)Γ(a)-Γ(a-p)Γ’(a)}{\{Γ(a)\}^2}\\
&    =\frac{Γ(p)Γ(a-p)}{Γ(a)} \left\{\frac{Γ’(a-p)}{Γ(a-p)}-\frac{Γ’(a)}{Γ(a)}\right\}\\
&    =\frac{Γ(p)Γ(a-p)}{Γ(a)} \left\{ψ(a-p)-ψ(a)\right\}\\
&    =Γ(p)Γ(a-p)\left\{\frac{ψ(a-p)}{Γ(a)}-\frac{ψ(a)}{Γ(a)}\right\}\\
\end{alignat}\((1)\) と同様に極限を計算を行います。

よって \(a=0\) のとき$$I’(0)=Γ(p)Γ(-p)=Γ(p)\left\{-\frac{Γ(1-p)}{p}\right\}=-\frac{1}{p} \cdot \frac{π}{\sin pπ}=-\frac{π}{p}\mathrm{csc} \ pπ$$以上より$$\displaystyle\int_1^{\infty} (x-1)^{p-1} \log xdx=\frac{π}{p}\mathrm{csc} \ pπ$$

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