x^{p-1}logx/(1-x^q)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}\log x}{1-x^q}dx=-\frac{1}{q^2}ψ’\left(\frac{p}{q}\right)\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}\log x}{1+x^q}dx=\frac{1}{q^2}β’\left(\frac{p}{q}\right)\\
&(3) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}\log x}{1-x^{2p}}dx=-\frac{π^2}{8p^2}\\
\end{alignat}ただし、全て \(p,q \gt 0\)








<証明>


\((1)\) 次の定積分を \(I(p)\) と置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}}{1-x^q}dx$$\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}\log x}{1-x^q}dx$$となるので \(I’(p)\) を求めます。

\(x^q=t\) と置きます。\((qx^{q-1}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(p)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}}{1-x^q}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p-1}{q}}}{1-t} \cdot \frac{1}{qt^{\frac{q-1}{q}}}dt\\
&   =\frac{1}{q}\displaystyle\int _0^1 \frac{t^{\frac{p}{q}-1}}{1-t}dt=\frac{1}{q}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{p}{q}-1} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} t^ndt\\
&   =\frac{1}{q}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\int_0^1 t^{n+\frac{p}{q}-1}dt=\frac{1}{q}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{t^{n+\frac{p}{q}}}{n+\frac{p}{q}}\right]_0^1=\frac{1}{q}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+\frac{p}{q}}\\
\end{alignat}\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=-\frac{1}{q}\cdot \frac{1}{q} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left(\frac{p}{q}+n\right)^2}=-\frac{1}{q^2}ψ’\left(\frac{p}{q}\right)$$以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}\log x}{1-x^q}dx=-\frac{1}{q^2}ψ’\left(\frac{p}{q}\right)$$






\((2)\) 次の定積分を \(I(p)\) と置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}}{1+x^q}dx$$\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}\log x}{1+x^q}dx$$となるので \(I’(p)\) を求めます。

\(x^q=t\) と置きます。\((qx^{q-1}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(p)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}}{1+x^q}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p-1}{q}}}{1+t} \cdot \frac{1}{qt^{\frac{q-1}{q}}}dt\\
&   =\frac{1}{q}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p}{q}-1}}{1+t}dt=\frac{1}{q}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{p}{q}-1} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^nt^ndt\\
&   =\frac{1}{q}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \displaystyle\int_0^1 t^{n+\frac{p}{q}-1}dt=\frac{1}{q}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \left[ \frac{t^{n+\frac{p}{q}}}{n+\frac{p}{q}}\right]_0^1=\frac{1}{q}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+\frac{p}{q}}\\
\end{alignat}\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=-\frac{1}{q}\cdot \frac{1}{q} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\left(\frac{p}{q}+n\right)^2}=\frac{1}{q^2}β’\left(\frac{p}{q}\right)$$以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}\log x}{1+x^q}dx=\frac{1}{q^2}β’\left(\frac{p}{q}\right)$$







\((2)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{a+p-1}}{1-x^{2p}}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)x^{a+p-1}}{1-x^{2p}}dx$$\(a=0\) とすると$$I’(0)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}\log x}{1-x^{2p}}dx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(x^{2p}=t\) と置きます。\((2px^{2p-1}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{a+p-1}}{1-x^{2p}}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{a+p-1}{2p}}}{1-t} \cdot \frac{1}{2pt^{\frac{2p-1}{2p}}}dt\\
&   =\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{a}{2p}-\frac{1}{2}}}{1-t}dt=\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a}{2p}-\frac{1}{2}}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} t^ndt\\
&   =\frac{1}{2p}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\int_0^1 t^{n+\frac{a}{2p}-\frac{1}{2}}dt=\frac{1}{2p}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{t^{n+\frac{a}{2p}+\frac{1}{2}}}{n+\frac{a}{2p}+\frac{1}{2}}\right]_0^1=\frac{1}{2p}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+\frac{a}{2p}+\frac{1}{2}}\\
\end{alignat}\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\frac{1}{2p} \cdot \left(-\frac{1}{2p}\right) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left(n+\frac{a}{2p}+\frac{1}{2}\right)^2}$$\(a=0\) とすると$$I’(0)=-\frac{1}{4p^2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left(n+\frac{1}{2}\right)^2}=-\frac{1}{p^2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}=-\frac{1}{p^2} \cdot \frac{π^2}{8}=-\frac{π^2}{8p^2}$$以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}\log x}{1-x^{2p}}dx=-\frac{π^2}{8p^2}$$

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