x^{p-1}sinax[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1} \sin axdx=\frac{Γ(p)}{a^p}\sin \frac{pπ}{2}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1} \cos axdx=\frac{Γ(p)}{a^p}\cos \frac{pπ}{2}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0,\,0 \lt p \lt 1\)












<証明>

次のような積分路において複素積分を行います。
経路は下図の四分円の周上で反時計回りに \(A \to B \to C \to A\) とします。


\(f(z)=z^{p-1}e^{iaz}\) と置くと、積分路の内部に特異点は存在しないので、積分値は \(0\) です。

よって$$\displaystyle\oint_C=\displaystyle\int_{C_1}+\displaystyle\int_{C_2}+\displaystyle\int_{C_3}=0$$
\( C_1\) から \( C_3\) まで順に計算を行います。

\((A)\) \(C_1\) について$$\displaystyle\lim_{R \to \infty}\displaystyle\int_{C_1}f(z)dz=\displaystyle\lim_{R \to \infty} \displaystyle\int_0^{R}x^{p-1}e^{iax}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1}e^{iax}dx$$


\((B)\) \(C_2\) について \(z=Re^{iθ}\) と置きます。\((dz=iRe^{iθ}dθ)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{C_2} f(z)dz&=\displaystyle\int_{C_2} z^{s-1}e^{iaz}dz=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} R^{p-1} e^{iθ(p-1)}e^{ia \cdot Re^{iθ}}\cdot iRe^{iθ}dθ\\
&=R^p\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} e^{iθ(p-1)}e^{ia \cdot R(\cos θ+i \sin θ)}\cdot ie^{iθ}dθ\\
\end{alignat}絶対値を付けて積分値を評価し \(R \to \infty\) とします。
\begin{alignat}{2}
\left|\displaystyle\int_{C_2} f(z)dz\right| &\leq R^p\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}e^{-aR\sin θ}dθ \leq R^s \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} e^{-aR \cdot \frac{2}{π}θ}dθ\\
&=R^p\left[-\frac{π}{2aR}e^{-\frac{2aR}{π}θ}\right]_0^{\frac{π}{2}}\\
&=-\frac{R^p}{2aR}(e^{-aR}-1)=\frac{R^{p-1}}{2a}(1-e^{-aR})\\
\end{alignat}\(p \lt 1\) であるので \(R \to \infty\) のとき$$\displaystyle\lim_{R \to \infty}\displaystyle\int_{C_2}f(z)dz=0$$


\((C)\) \(C_3\) について \(z=it\,\,(0 \leq t \leq R)\) と置きます。\((dz=idt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{C_3} f(z)dz&=\displaystyle\int_{C_3} z^{p-1}e^{iaz}dz=\displaystyle\int_R^0 (it)^{p-1} e^{-at} \cdot idt\\
&=-i^p \displaystyle\int_0^R t^{p-1} e^{-at}dt=-e^{\frac{ipπ}{2}} \displaystyle\int_0^R t^{p-1} e^{-at}dt\\
\end{alignat}\(R \to \infty\) とします。$$\displaystyle\lim_{R \to \infty}\displaystyle\int_{C_3} f(z)dz=-e^{\frac{ipπ}{2}} \displaystyle\int_0^{\infty} t^{p-1} e^{-at}dt$$\(at=r\) と置きます。\((adt=dr)\)$$=-e^{\frac{ipπ}{2}} \displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{r}{a}\right)^{p-1} e^{-r} \cdot \frac{1}{a}dr=-e^{\frac{ipπ}{2}} \cdot \frac{1}{a^p}\displaystyle\int_0^{\infty} r^{p-1} e^{-r}dr=-e^{\frac{ipπ}{2}} \cdot \frac{Γ(p)}{a^p}$$

すなわち、複素積分の結果より、次式が成り立つことが分かります。$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1}e^{iax}dx-e^{\frac{ipπ}{2}} \cdot \frac{Γ(p)}{a^p}=0$$移項して、実部と虚部を比較します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1} (\cos ax+i \sin ax)dx&=\frac{Γ(p)}{a^p}\left(\cos \frac{pπ}{2}+i\sin \frac{pπ}{2}\right)\\
\displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1} \cos axdx+i\displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1} \sin axdx&=\frac{Γ(p)}{a^p}\cos \frac{pπ}{2}+i \cdot \frac{Γ(p)}{a^p}\sin \frac{pπ}{2}\\
\end{alignat}以上より
\begin{cases}
\displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1} \sin axdx=\frac{Γ(p)}{a^p}\sin \frac{pπ}{2}\\
\displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1} \cos axdx=\frac{Γ(p)}{a^p}\cos \frac{pπ}{2}\\
\end{cases}ただし、全て \(a \gt 0,\,0 \lt p \lt 1\)


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