(x^{p-1}+x^{q-1})/(1-x^2)^{(p+q)/2}[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}+x^{q-1}}{(1-x^2)^{\frac{p+q}{2}}}dx=\frac{1}{2}\cos \frac{(q-p)π}{4} \sec \frac{(q+p)π}{4}B\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}-x^{q-1}}{(1-x^2)^{\frac{p+q}{2}}}dx=\frac{1}{2}\sin \frac{(q-p)π}{4} \csc \frac{(q+p)π}{4}B\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(p \gt 0,\,q \gt 0,\, p+q \lt 2\)








<証明>

どちらも \(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}+x^{q-1}}{(1-x^2)^{\frac{p+q}{2}}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p-1}{2}}+t^{\frac{q-1}{2}}}{(1-t)^{\frac{p+q}{2}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p}{2}-1}+t^{\frac{q}{2}-1}}{(1-t)^{\frac{p+q}{2}}}dt\\
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{p}{2}-1}(1-t)^{-\frac{p+q}{2}}dt+\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{q}{2}-1}(1-t)^{-\frac{p+q}{2}}dt\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{B\left(\frac{q}{2},1-\frac{p+q}{2}\right)+B\left(\frac{p}{2},1-\frac{p+q}{2}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{Γ\left(\frac{p}{2}\right)Γ\left(1-\frac{p+q}{2}\right)}{Γ\left(1-\frac{q}{2}\right)}+\frac{Γ\left(\frac{q}{2}\right)Γ\left(1-\frac{p+q}{2}\right)}{Γ\left(1-\frac{p}{2}\right)}\right\}\\
&=\frac{Γ\left(1-\frac{p+q}{2}\right)}{2Γ\left(1-\frac{q}{2}\right)Γ\left(1-\frac{p}{2}\right)}\left\{Γ\left(\frac{p}{2}\right)Γ\left(1-\frac{p}{2}\right)+Γ\left(\frac{q}{2}\right)Γ\left(1-\frac{q}{2}\right)\right\}\\
&=\frac{Γ\left(\frac{p+q}{2}\right)Γ\left(1-\frac{p+q}{2}\right)Γ\left(\frac{q}{2}\right)Γ\left(\frac{p}{2}\right)}{2Γ\left(\frac{p+q}{2}\right)Γ\left(\frac{q}{2}\right)Γ\left(1-\frac{q}{2}\right)Γ\left(\frac{p}{2}\right)Γ\left(1-\frac{p}{2}\right)}\left(π\csc \frac{pπ}{2}+π\csc \frac{qπ}{2}\right)\\
&=\frac{π\csc \frac{(p+q)π}{2}}{2\left(π\csc \frac{qπ}{2}\right)\left(π\csc \frac{pπ}{2}\right)}\cdot B\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)\cdot π \left(\csc \frac{pπ}{2}+\csc \frac{qπ}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2}\csc \frac{(p+q)π}{2}\left(\sin \frac{qπ}{2}+\sin \frac{pπ}{2} \right)B\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin \frac{qπ}{2}+\sin \frac{pπ}{2}}{\sin \frac{(q+p)π}{2}}B\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2} \cdot \frac{2\sin \frac{(q+p)π}{4}\cos \frac{(q-p)π}{4}}{2\sin \frac{(q+p)π}{4}\cos \frac{(q+p)π}{4}}B\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2}\cos \frac{(q-p)π}{4} \sec \frac{(q+p)π}{4}B\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}+x^{q-1}}{(1-x^2)^{\frac{p+q}{2}}}dx=\frac{1}{2}\cos \frac{(q-p)π}{4} \sec \frac{(q+p)π}{4}B\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)$$







\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}-x^{q-1}}{(1-x^2)^{\frac{p+q}{2}}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p-1}{2}}-t^{\frac{q-1}{2}}}{(1-t)^{\frac{p+q}{2}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p}{2}-1}-t^{\frac{q}{2}-1}}{(1-t)^{\frac{p+q}{2}}}dt\\
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{p}{2}-1}(1-t)^{-\frac{p+q}{2}}dt-\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{q}{2}-1}(1-t)^{-\frac{p+q}{2}}dt\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{B\left(\frac{q}{2},1-\frac{p+q}{2}\right)-B\left(\frac{p}{2},1-\frac{p+q}{2}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{Γ\left(\frac{p}{2}\right)Γ\left(1-\frac{p+q}{2}\right)}{Γ\left(1-\frac{q}{2}\right)}-\frac{Γ\left(\frac{q}{2}\right)Γ\left(1-\frac{p+q}{2}\right)}{Γ\left(1-\frac{p}{2}\right)}\right\}\\
&=\frac{Γ\left(1-\frac{p+q}{2}\right)}{2Γ\left(1-\frac{q}{2}\right)Γ\left(1-\frac{p}{2}\right)}\left\{Γ\left(\frac{p}{2}\right)Γ\left(1-\frac{p}{2}\right)-Γ\left(\frac{q}{2}\right)Γ\left(1-\frac{q}{2}\right)\right\}\\
&=\frac{Γ\left(\frac{p+q}{2}\right)Γ\left(1-\frac{p+q}{2}\right)Γ\left(\frac{q}{2}\right)Γ\left(\frac{p}{2}\right)}{2Γ\left(\frac{p+q}{2}\right)Γ\left(\frac{q}{2}\right)Γ\left(1-\frac{q}{2}\right)Γ\left(\frac{p}{2}\right)Γ\left(1-\frac{p}{2}\right)}\left(π\csc \frac{pπ}{2}-π\csc \frac{qπ}{2}\right)\\
&=\frac{π\csc \frac{(p+q)π}{2}}{2\left(π\csc \frac{qπ}{2}\right)\left(π\csc \frac{pπ}{2}\right)}\cdot B\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)\cdot π \left(\csc \frac{pπ}{2}-\csc \frac{qπ}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2}\csc \frac{(p+q)π}{2}\left(\sin \frac{qπ}{2}-\sin \frac{pπ}{2} \right)B\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin \frac{qπ}{2}-\sin \frac{pπ}{2}}{\sin \frac{(q+p)π}{2}}B\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2} \cdot \frac{2\cos \frac{(q+p)π}{4}\sin \frac{(q-p)π}{4}}{2\sin \frac{(q+p)π}{4}\cos \frac{(q+p)π}{4}}B\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2}\sin \frac{(q-p)π}{4} \csc \frac{(q+p)π}{4}B\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}-x^{q-1}}{(1-x^2)^{\frac{p+q}{2}}}dx=\frac{1}{2}\sin \frac{(q-p)π}{4} \csc \frac{(q+p)π}{4}B\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です