(x^p-x^q)(1-x^r)/(logx)^2[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{(x^p-x^q)(1-x^r)}{(\log x)^2}dx\\
&=(p+1)\log (p+1)-(q+1)\log (q+1)-(p+r+1)\log (p+r+1)+(q+r+1) \log (q+r+1)\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^p-x^q}{\log x}\right)^2dx\\
&=(2p+1)\log (2p+1)+(2q+1)\log (2q+1)-2(p+q+1)\log (p+q+1)
\end{alignat}ただし、全て \(p,q,r \gt 0\)








<証明>

次の定積分における等式を被積分関数に代入します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_q^p x^ada=\left[\frac{x^a}{\log x}\right]_q^p=\frac{x^p-x^q}{\log x}\\
&\displaystyle\int_0^r x^ada=\left[\frac{x^a}{\log x}\right]_0^r=\frac{x^r-1}{\log x}\\
\end{alignat}





\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{(x^p-x^q)(1-x^r)}{(\log x)^2}dx\\
&=-\displaystyle\int_0^1 \left(\displaystyle\int_q^p x^ada\right)\left(\displaystyle\int_0^r x^bdb\right)dx=-\displaystyle\int_q^p \displaystyle\int_0^r \displaystyle\int_0^1 x^{a+b} dxdbda\\
&=-\displaystyle\int_q^p \displaystyle\int_0^r \left[\frac{x^{a+b+1}}{a+b+1}\right]_0^1 dbda=-\displaystyle\int_q^p \displaystyle\int_0^r \frac{1}{a+b+1}dbda\\
&=-\displaystyle\int_q^p [\log (a+b+1)]_0^r da=-\displaystyle\int_q^p \{\log (a+r+1)-\log (a+1)\}da\\
&=[(a+1)\log (a+1)-(a+r+1)\log (a+r+1)]_q^p\\
&=(p+1)\log (p+1)-(q+1)\log (q+1)-(p+r+1)\log (p+r+1)+(q+r+1) \log (q+r+1)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(x^p-x^q)(1-x^r)}{(\log x)^2}dx=(p+1)\log (p+1)-(q+1)\log (q+1)-(p+r+1)\log (p+r+1)+(q+r+1) \log (q+r+1)$$







\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^p-x^q}{ \log x}\right)^2 dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \left(\displaystyle\int_q^p x^ada\right)\left(\displaystyle\int_q^p x^bdb\right)dx=\displaystyle\int_q^p \displaystyle\int_q^p \displaystyle\int_0^1 x^{a+b} dxdbda\\
&=\displaystyle\int_q^p \displaystyle\int_q^p \left[\frac{x^{a+b+1}}{a+b+1}\right]_0^1 dbda=\displaystyle\int_q^p \displaystyle\int_q^p \frac{1}{a+b+1}dbda\\
&=\displaystyle\int_q^p [\log (a+b+1)]_q^p da=\displaystyle\int_q^p \{\log (a+p+1)-\log (a+q+1)\}da\\
&=[(a+p+1)\log (a+p+1)-(a+q+1)\log (a+q+1)]_q^p\\
&=(2p+1)\log (2p+1)-(p+q+1)\log (p+q+1)-(p+q+1)\log (p+q+1)+(2q+1) \log (2q+1)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^p-x^q}{\log x}\right)^2dx=(2p+1)\log (2p+1)+(2q+1)\log (2q+1)-2(p+q+1)\log (p+q+1)$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です