x^{p+1}-x^{-p+1}/(1+x^2)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1+x+x^2}dx=\frac{π}{3 \sqrt{3}}\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1-x+x^2}dx=\frac{2π}{3 \sqrt{3}}\\
&(3) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^p+x^{-p}}{1+x^2}dx=\frac{π}{2}\sec \frac{pπ}{2}\\
&(4) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p+1}-x^{-p+1}}{1+x^2}dx=\frac{1}{p}-\frac{π}{2}\csc \frac{pπ}{2}\\
&(5) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^p+x^{-p}}{1-x^2}dx=-\frac{π}{2}\tan \frac{pπ}{2}\\
\end{alignat}






<証明>

途中、ベータ関数やディガンマ関数の公式を用いています。
(詳細はこちらです。ベータ関数ディガンマ関数)


\((1)\) 分子と分母に \(x-1\) を掛けます。$$\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1+x+x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{x-1}{x^3-1}dx$$\(x^3=t\) と置きます。\((3x^2dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{1}{3}}-1}{t-1}\cdot \frac{1}{3t^{\frac{2}{3}}}dt=\frac{1}{3}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{-\frac{2}{3}}-t^{-\frac{1}{3}}}{1-t}dt\\
&=\frac{1}{3}\left\{ψ\left(1-\frac{1}{3}\right)-ψ\left(\frac{1}{3}\right)\right\}=\frac{π}{3}\cot \frac{π}{3}=\frac{π}{3\sqrt{3}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1+x+x^2}dx=\frac{π}{3 \sqrt{3}}$$







\((2)\) 分子と分母に \(x+1\) を掛けます。$$\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1-x+x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{x+1}{(x+1)(x^2-x+1)}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{x+1}{x^3+1}dx$$\(x^3=t\) と置きます。\((3x^2dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{1}{3}}+1}{t+1}\cdot \frac{1}{3t^{\frac{2}{3}}}dt=\frac{1}{3}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{-\frac{2}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}}{1+t}dt\\
&=\frac{1}{3}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{2}{3}-1}+t^{-\frac{2}{3}}}{t+1}dt=\frac{π}{3}\csc \frac{π}{3}=\frac{2π}{3\sqrt{3}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1-x+x^2}dx=\frac{2π}{3 \sqrt{3}}$$







\((3)\) \(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^1 \frac{x^p+x^{-p}}{1+x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^\frac{p}{2}+t^{-\frac{p}{2}}}{1+t}\cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt\\
&              =\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p}{2}-\frac{1}{2}}+t^{-\frac{p}{2}-\frac{1}{2}}}{1+t}dt=\frac{π}{2}\sec \frac{pπ}{2}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^p+x^{-p}}{1+x^2}dx=\frac{π}{2}\sec \frac{pπ}{2}$$






\((4)(5)\) は被積分関数の一部を級数に直してから積分を行い、

三角関数の部分分数分解の式を用います。


\begin{alignat}{2}
&(4) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p+1}-x^{-p+1}}{1+x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 (x^{p+1}-x^{-p+1}) \cdot \frac{1}{1+x^2}dx\\
&                     =\displaystyle\int_0^1 (x^{p+1}-x^{-p+1})(1-x^2+x^4-x^6+ \cdots )dx\\
&                     =\displaystyle\int_0^1 (x^{p+1}-x^{-p+1})\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^nx^{2n}dx\\
&                     =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \displaystyle\int_0^1 (x^{p+2n+1}-x^{-p+2n+1})dx\\
&                     =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left[\frac{x^{p+2n+2}}{p+2n+2}-\frac{x^{-p+2n+2}}{-p+2n+2}\right]_0^1\\
&                     =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{1}{p+2n+2}+\frac{1}{p-2n-2}\right)\\
&                     =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{2p}{p^2+(2n+2)^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot 2p}{p^2+4(n+1)^2}\\
&                     =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cdot 2p}{p^2+4n^2}=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cdot 2 \cdot \frac{p}{2}}{\left(\frac{p}{2}\right)^2+n^2}\\
&                     =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{p}-\frac{π}{\sin \frac{pπ}{2}}\right)=\frac{1}{p}-\frac{π}{2}\csc \frac{pπ}{2}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p+1}+x^{-p+1}}{1+x^2}dx=\frac{1}{p}-\frac{π}{2}\csc \frac{pπ}{2}$$






\begin{alignat}{2}
&(5) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^p-x^{-p}}{1-x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 (x^p-x^{-p}) \cdot \frac{1}{1-x^2}dx\\
&                 =\displaystyle\int_0^1 (x^p-x^{-p})(1+x^2+x^4+x^6+ \cdots)dx\\
&                 =\displaystyle\int_0^1 (x^p-x^{-p})\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}dx\\
&                 =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\int_0^1 (x^{p+2n}-x^{-p+2n})dx\\
&                 =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{x^{p+2n+1}}{p+2n+1}-\frac{x^{-p+2n+1}}{-p+2n+1}\right]_0^1\\
&                 =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{p+2n+1}+\frac{1}{p-2n-1}\right)\\
&                 =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2p}{p^2-(2n+1)^2}=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2\cdot \frac{p}{2}}{\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(n+\frac{1}{2}\right)^2}=-\frac{π}{2}\tan \frac{pπ}{2}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^p+x^{-p}}{1-x^2}dx=-\frac{π}{2}\tan \frac{pπ}{2}$$

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