x^psin(ax+b)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_b^{\infty} (x-b)^{μ-1} \sin axdx=\frac{Γ(μ)}{a^μ}\sin \left(ab+\frac{μπ}{2}\right)\\
&(2)  \displaystyle\int_b^{\infty} (x-b)^{μ-1} \cos axdx=\frac{Γ(μ)}{a^μ}\cos \left(ab+\frac{μπ}{2}\right)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^p \sin (ax+b)dx=\frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\cos \left(b+\frac{pπ}{2}\right)\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^p \cos (ax+b)dx=-\frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\sin \left(b+\frac{pπ}{2}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0,\,0 \lt μ \lt 1,\,-1 \lt p \lt 0\)








<証明>

\((1)(2)\) はどちらも \(x-b=t\) と置きます。\((dx=dt)\)

また、メリン変換の公式を用います。

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_b^{\infty} (x-b)^{μ-1} \sin axdx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} t^{μ-1} \sin (at+ab)dt\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} t^{μ-1} (\sin at \cos ab +\cos at \sin ab)dt\\
&=\cos ab \displaystyle\int_0^{\infty} t^{μ-1} \sin at dt+\sin ab \displaystyle\int_0^{\infty} t^{μ-1} \cos atdt\\
&=\cos ab \cdot \frac{Γ(μ)}{a^μ}\sin \frac{μπ}{2}+\sin ab \cdot \frac{Γ(μ)}{a^μ}\cos \frac{μπ}{2}\\
&=\frac{Γ(μ)}{a^μ}\left(\sin ab \cos \frac{μπ}{2}+\cos ab \sin \frac{μπ}{2}\right)\\
&=\frac{Γ(μ)}{a^μ}\sin \left(ab+\frac{μπ}{2}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_b^{\infty} (x-b)^{μ-1} \sin axdx=\frac{Γ(μ)}{a^μ}\sin \left(ab+\frac{μπ}{2}\right)$$






\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_b^{\infty} (x-b)^{μ-1} \cos axdx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} t^{μ-1} \cos (at+ab)dt\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} t^{μ-1} (\cos at \cos ab -\sin at \sin ab)dt\\
&=\cos ab \displaystyle\int_0^{\infty} t^{μ-1} \cos at dt-\sin ab \displaystyle\int_0^{\infty} t^{μ-1} \sin atdt\\
&=\cos ab \cdot \frac{Γ(μ)}{a^μ}\cos \frac{μπ}{2}-\sin ab \cdot \frac{Γ(μ)}{a^μ}\sin \frac{μπ}{2}\\
&=\frac{Γ(μ)}{a^μ}\left(\cos ab \cos \frac{μπ}{2}-\sin ab \sin \frac{μπ}{2}\right)\\
&=\frac{Γ(μ)}{a^μ}\cos \left(ab+\frac{μπ}{2}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_b^{\infty} (x-b)^{μ-1} \cos axdx=\frac{Γ(μ)}{a^μ}\cos \left(ab+\frac{μπ}{2}\right)$$







\begin{alignat}{2}
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^p \sin (ax+b)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} x^p (\sin ax \cos b+ \cos ax \sin b)dx\\
&=\cos b \displaystyle\int_0^{\infty} x^p \sin axdx+\sin b \displaystyle\int_0^{\infty} x^p \cos axdx\\
&=\cos b \cdot \frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\sin \frac{(p+1)π}{2}+\sin b \cdot \frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\cos \frac{(p+1)π}{2}\\
&=\frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\left(\cos b \cos \frac{pπ}{2}-\sin b \sin \frac{pπ}{2}\right)\\
&=\frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\cos \left(b+\frac{pπ}{2}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^p \sin (ax+b)dx=\frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\cos \left(b+\frac{pπ}{2}\right)$$






\begin{alignat}{2}
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^p \cos (ax+b)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} x^p (\cos ax \cos b- \sin ax \sin b)dx\\
&=\cos b \displaystyle\int_0^{\infty} x^p \cos axdx-\sin b \displaystyle\int_0^{\infty} x^p \sin axdx\\
&=\cos b \cdot \frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\cos \frac{(p+1)π}{2}-\sin b \cdot \frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\sin \frac{(p+1)π}{2}\\
&=\frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\left(-\cos b \sin \frac{pπ}{2}-\sin b \cos \frac{pπ}{2}\right)\\
&=-\frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\left(\sin b \cos \frac{pπ}{2}+\cos b \sin \frac{pπ}{2}\right)\\
&=-\frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\sin \left(b+\frac{pπ}{2}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^p \cos (ax+b)dx=-\frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\sin \left(b+\frac{pπ}{2}\right)$$

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