x√(1-x^2)logx[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\log xdx=-\frac{π}{8}(1+2 \log 2)\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\log xdx=\frac{1}{3} \log 2-\frac{4}{9}\\
&(3) \displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt{x(1-x^2)}}dx=-\frac{\sqrt{2π}}{8}\left\{Γ\left(\frac{1}{4}\right)\right\}^2
\end{alignat}









<証明>

\((1)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 x^a \sqrt{1-x^2}dx$$\(I’(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^1 (\log x) x^a \sqrt{1-x^2}dx$$\(a=0\) のとき$$I’(0)=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\log xdx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^1 x^a \sqrt{1-x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a}{2}} \sqrt{1-t} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt\\
&   =\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a}{2}-\frac{1}{2}}(1-t)^{\frac{1}{2}}dt=\frac{1}{2}B\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)\\
&   =\frac{1}{2} \cdot \frac{Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{2}\right)Γ\left(\frac{3}{2}\right)}{Γ\left(\frac{a}{2}+2\right)}=\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(\frac{a}{2}+2\right)}\\
\end{alignat}\(I’(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{\frac{1}{2}Γ’\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{2}\right)Γ\left(\frac{a}{2}+2\right)-\frac{1}{2}Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{2}\right)Γ’\left(\frac{a}{2}+2\right)}{\left\{Γ\left(\frac{a}{2}+2\right)\right\}^2}$$\(a=0\) のとき
\begin{alignat}{2}
&I’(0)=\frac{\sqrt{π}}{8}\cdot \frac{Γ’\left(\frac{1}{2}\right)Γ\left(2\right)-Γ\left(\frac{1}{2}\right)Γ’\left(2\right)}{\left\{Γ\left(2\right)\right\}^2}\\
&    =\frac{\sqrt{π}}{8} \cdot \frac{Γ\left(\frac{1}{2}\right)}{Γ(2)}\left\{\frac{Γ’\left(\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(\frac{1}{2}\right)}-\frac{Γ’(2)}{Γ(2)}\right\}\\
&    =\frac{π}{8}\left\{ψ\left(\frac{1}{2}\right)-ψ(2)\right\}=\frac{π}{8}\{-2 \log 2-γ-(-γ+1)\}\\
&    =\frac{π}{8}(-2 \log 2-1)=-\frac{π}{8}(1+2 \log 2)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\log xdx=-\frac{π}{8}(1+2 \log 2)$$







\((2)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 x^{a+1} \sqrt{1-x^2}dx$$\(I’(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^1 (\log x) x^{a+1} \sqrt{1-x^2}dx$$\(a=0\) のとき$$I’(0)=\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\log xdx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^1 x^{a+1} \sqrt{1-x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a+1}{2}} \sqrt{1-t} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt\\
&   =\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a}{2}}(1-t)^{\frac{1}{2}}dt=\frac{1}{2}B\left(\frac{a}{2}+1,\frac{3}{2}\right)\\
&   =\frac{1}{2} \cdot \frac{Γ\left(\frac{a}{2}+1\right)Γ\left(\frac{3}{2}\right)}{Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}\right)}=\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{Γ\left(\frac{a}{2}+1\right)}{Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}\right)}\\
\end{alignat}\(I’(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{\frac{1}{2}Γ’\left(\frac{a}{2}+1\right)Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}\right)-\frac{1}{2}Γ\left(\frac{a}{2}+1\right)Γ’\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}\right)}{\left\{Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}\right)\right\}^2}$$\(a=0\) のとき
\begin{alignat}{2}
&I’(0)=\frac{\sqrt{π}}{8}\cdot \frac{Γ’\left(1\right)Γ\left(\frac{5}{2}\right)-Γ\left(1\right)Γ’\left(\frac{5}{2}\right)}{\left\{Γ\left(\frac{5}{2}\right)\right\}^2}\\
&    =\frac{\sqrt{π}}{8} \cdot \frac{Γ\left(1\right)}{Γ\left(\frac{5}{2}\right)}\left\{\frac{Γ’\left(1\right)}{Γ\left(1\right)}-\frac{Γ’\left(\frac{5}{2}\right)}{Γ\left(\frac{5}{2}\right)}\right\}\\
&    =\frac{\sqrt{π}}{8} \cdot \frac{1}{\frac{3}{4}\sqrt{π}}\left\{ψ\left(1\right)-ψ\left(\frac{5}{2}\right)\right\}=\frac{1}{6}\left\{-γ-\left(-γ-2 \log 2 +\frac{8}{3}\right)\right\}\\
&    =\frac{1}{6}\left(2 \log 2-\frac{8}{3}\right)=\frac{1}{3} \log 2-\frac{4}{9}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\log xdx=\frac{1}{3} \log 2-\frac{4}{9}$$







\((1)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^a}{ \sqrt{x(1-x^2)}}dx$$\(I’(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)x^a}{ \sqrt{x(1-x^2)}}dx$$\(a=0\) のとき$$I’(0)=\displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{ \sqrt{x(1-x^2)}}dx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^a}{ \sqrt{x(1-x^2)}}dx=\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a}{2}-\frac{1}{4}} (1-t)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt\\
&   =\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a}{2}-\frac{3}{4}}(1-t)^{-\frac{1}{2}}dt=\frac{1}{2}B\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)\\
&   =\frac{1}{2} \cdot \frac{Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{4}\right)Γ\left(\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{3}{4}\right)}=\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{4}\right)}{Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{3}{4}\right)}\\
\end{alignat}\(I’(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\frac{\sqrt{π}}{2}\cdot \frac{\frac{1}{2}Γ’\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{4}\right)Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{2}Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{4}\right)Γ’\left(\frac{a}{2}+\frac{3}{4}\right)}{\left\{Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{3}{4}\right)\right\}^2}$$\(a=0\) のとき
\begin{alignat}{2}
&I’(0)=\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{Γ’\left(\frac{1}{4}\right)Γ\left(\frac{3}{4}\right)-Γ\left(\frac{1}{4}\right)Γ’\left(\frac{3}{4}\right)}{\left\{Γ\left(\frac{3}{4}\right)\right\}^2}\\
&    =\frac{\sqrt{π}}{4} \cdot \frac{Γ\left(\frac{1}{4}\right)}{Γ\left(\frac{3}{4}\right)}\left\{\frac{Γ’\left(\frac{1}{4}\right)}{Γ\left(\frac{1}{4}\right)}-\frac{Γ’\left(\frac{3}{4}\right)}{Γ\left(\frac{3}{4}\right)}\right\}\\

&    =\frac{\sqrt{π}}{4} \cdot \frac{\left\{Γ\left(\frac{1}
{4}\right)\right\}^2}{Γ\left(\frac{1}{4}\right)Γ\left(\frac{3}{4}\right)}\left\{ψ\left(\frac{1}{4}\right)-ψ\left(\frac{3}{4}\right)\right\}\\

&    =\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{\sin \frac{π}{4}}{π}\left\{Γ\left(\frac{1}{4}\right)\right\}^2 π \cot \frac{3}{4}π\\
&    =-\frac{\sqrt{π}}{4\sqrt{2}}\left\{Γ\left(\frac{1}{4}\right)\right\}^2=-\frac{\sqrt{2π}}{8}\left\{Γ\left(\frac{1}{4}\right)\right\}^2
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt{x(1-x^2)}}dx=-\frac{\sqrt{2π}}{8}\left\{Γ\left(\frac{1}{4}\right)\right\}^2$$

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