xsin{-1}x/(1+px^2)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x \sin^{-1} x}{1+px^2}dx=\frac{π}{2p}\log \frac{2\sqrt{1+p}}{1+\sqrt{1+p}}  (p \gt -1)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x \sin^{-1} x}{1-px^2}dx=\frac{π}{2p}\log \frac{1+\sqrt{1-p}}{2\sqrt{1-p}}  (|p| \lt 1)\\
\end{alignat}









<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+a \sin^2 x)dx=π\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{2}  (a \gt -1)$$




どちらも部分積分を行ってから \(x=\sin t\) と置きます。\((dx=\cos tdt)\)

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x \sin^{-1} x}{1+px^2}dx\\
&=\left[\frac{1}{2p} \log (1+px^2)\sin^{-1} x\right]_0^1-\frac{1}{2p} \displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1+px^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx\\
&=\frac{π}{4p}\log (1+p)-\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^1\frac{\log (1+px^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx\\
&=\frac{π}{4p}\log (1+p)-\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{\log (1+p\sin^2 t)}{\sqrt{1-\sin^2 t}} \cdot \cos tdt\\
&=\frac{π}{4p}\log (1+p)-\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+p \sin^2 t)dt\\
&=\frac{π}{4p}\log (1+p)-\frac{π}{2p} \log \frac{1+\sqrt{1+p}}{2}\\
&=\frac{π}{2p}\left\{\log \sqrt{1+p}
-\log \frac{1+\sqrt{1+p}}{2}\right\}=\frac{π}{2p}\log \frac{2\sqrt{1+p}}{1+\sqrt{1+p}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x \sin^{-1} x}{1+px^2}dx=\frac{π}{2p}\log \frac{2\sqrt{1+p}}{1+\sqrt{1+p}}  (p \gt -1)$$







\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x \sin^{-1} x}{1-px^2}dx\\
&=\left[-\frac{1}{2p} \log (1-px^2)\sin^{-1} x\right]_0^1+\frac{1}{2p} \displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1-px^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx\\
&=-\frac{π}{4p}\log (1+p)+\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^1\frac{\log (1-px^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx\\
&=-\frac{π}{4p}\log (1-p)+\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{\log (1-p\sin^2 t)}{\sqrt{1-\sin^2 t}} \cdot \cos tdt\\
&=-\frac{π}{4p}\log (1-p)+\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1-p \sin^2 t)dt\\
&=-\frac{π}{4p}\log (1-p)+\frac{π}{2p} \log \frac{1+\sqrt{1-p}}{2}\\
&=\frac{π}{2p}\left\{\log \frac{1+\sqrt{1-p}}{2}-\log \sqrt{1-p}
\right\}=\frac{π}{2p}\log \frac{1+\sqrt{1-p}}{2\sqrt{1-p}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x \sin^{-1} x}{1-px^2}dx=\frac{π}{2p}\log \frac{1+\sqrt{1-p}}{2\sqrt{1-p}}  (|p| \lt 1)$$




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