xsin^{-1}x/(1+px^2)^2[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x\sin^{-1} x}{(1+px^2)^2}dx=\frac{π}{4p} \cdot \frac{\sqrt{1+p}-1}{1+p}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x\cos^{-1} x}{(1+px^2)^2}dx=\frac{π}{4p}\cdot \frac{\sqrt{1+p}-1}{\sqrt{1+p}}\\
\end{alignat}ただし、全て \(p \gt -1\)










<証明>

予め、次の積分などを計算しておきます。
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int \frac{x}{(1+px^2)^2}dx=-\frac{1}{2p(1+px^2)}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{(1+px^2)\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{π}{2\sqrt{1+p}}\\
\end{alignat}



\((A)\) \(1+px^2=t\) と置きます。\((2pxdx=dt)\)$$\displaystyle\int \frac{x}{(1+px^2)^2}dx=\frac{1}{2p} \displaystyle\int \frac{1}{(1+t)^2}dt=-\frac{1}{2p} \cdot \frac{1}{1+t}=-\frac{1}{2p(1+px^2)}$$


\((B)\) \(x=\sin t\) と置きます。\((dx=\cos tdt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{(1+px^2)\sqrt{1-x^2}}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{1}{(1+p \sin^2t) \sqrt{1-\sin^2 t}} \cdot \cos tdt\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{1}{1+p \sin^2 t}dt\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\frac{1}{\cos^2 t}+p \tan^2 t} \cdot \frac{1}{\cos^2 t}dt\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1+\tan^2 t +p \tan^2 t} \cdot \frac{1}{\cos^2 t} dt\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1+(1+p)\tan^2 t} \cdot \frac{1}{\cos^2 t} dt\\
\end{alignat}\(\tan t=s\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{1}{\cos^2 t}dt=ds\right)\)$$=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{1+(1+p)s^2}ds=\left[\frac{1}{\sqrt{1+p}}\tan^{-1} \sqrt{1+p}s\right]_0^{\infty} =\frac{π}{2\sqrt{1+p}}$$以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{(1+px^2)\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{π}{2\sqrt{1+p}}$$





どちらも \((A)\) を用いて部分積分を行い \((B)\) の結果を代入します。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x\sin^{-1} x}{(1+px^2)^2}dx\\
&=\left[-\frac{\sin^{-1} x}{2p(1+px^2)}\right]_0^1 +\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{(1+px^2)\sqrt{1-x^2}}dx\\
&=-\frac{π}{4p(1+p)}+\frac{1}{2p} \cdot \frac{π}{2\sqrt{1+p}}\\
&=\frac{π}{4p}\left(\frac{1}{\sqrt{1+p}}-\frac{1}{1+p}\right)=\frac{π}{4p} \cdot \frac{\sqrt{1+p}-1}{1+p}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x\sin^{-1} x}{(1+px^2)^2}dx=\frac{π}{4p} \cdot \frac{\sqrt{1+p}-1}{1+p}$$







\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x\cos^{-1} x}{(1+px^2)^2}dx\\
&=\left[-\frac{\cos^{-1} x}{2p(1+px^2)}\right]_0^1 -\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{(1+px^2)\sqrt{1-x^2}}dx\\
&=\frac{π}{4p}-\frac{1}{2p} \cdot \frac{π}{2\sqrt{1+p}}\\
&=\frac{π}{4p}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+p}}\right)=\frac{π}{4p}\cdot \frac{\sqrt{1+p}-1}{\sqrt{1+p}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x\cos^{-1} x}{(1+px^2)^2}dx=\frac{π}{4p}\cdot \frac{\sqrt{1+p}-1}{\sqrt{1+p}}$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です