xsin^{-1}x/√(1-k^2x^2)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-k^2x^2}}dx=\frac{1}{k^2}\left\{-\frac{π}{2}k’+\boldsymbol{E}(k)\right\}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x \cos^{-1} x}{\sqrt{1-k^2x^2}}dx=\frac{1}{k^2}\left\{\frac{π}{2}-\boldsymbol{E}(k)\right\}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{k’^2+k^2x^2}}dx=\frac{1}{k^2}\left\{\frac{π}{2}-\boldsymbol{E}(k)\right\}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{k’^2+k^2x^2}}dx=\frac{1}{k^2}\left\{-\frac{π}{2}k’+\boldsymbol{E}(k)\right\}\\
\end{alignat}ただし \(k’=\sqrt{1-k^2}\)













<証明>

部分積分を行うために、次の式を微分しておきます。
\begin{alignat}{2}
(\sqrt{1-k^2x^2})’=\frac{1}{2} \cdot \frac{-2k^2x}{\sqrt{1-k^2x^2}}=-\frac{k^2x}{\sqrt{1-k^2x^2}}\\
(\sqrt{k’^2+k^2x^2})’=\frac{1}{2} \cdot \frac{2k^2x}{\sqrt{k’^2+k^2x^2}}=\frac{k^2x}{\sqrt{k’^2+k^2x^2}}\\
\end{alignat}



また、完全楕円積分について、次式が成り立ちます。 (詳細はこちらです)$$\boldsymbol{E}(\sqrt{k})=\sqrt{1-k} \boldsymbol{E}\left(\sqrt{\frac{k}{k-1}}\right)$$\(k\) を \(k^2\) とします。$$\boldsymbol{E}(k)=\sqrt{1-k^2} \boldsymbol{E}\left(\frac{k}{\sqrt{k^2-1}}\right)$$であるので、次の積分を変形すると
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \sqrt{\frac{k’^2+k^2x^2}{1-x^2}}dx&=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{\frac{1-k^2+k^2x^2}{1-x^2}}dx=\sqrt{1-k^2}\displaystyle\int_0^1 \sqrt{\frac{1+\frac{k^2}{1-k^2}x^2}{1-x^2}}dx\\
&\sqrt{1-k^2}\displaystyle\int_0^1 \sqrt{\frac{1-\frac{k^2}{k^2-1}x^2}{1-x^2}}dx=\sqrt{1-k^2} \boldsymbol{E}\left(\frac{k}{\sqrt{k^2-1}}\right)=\boldsymbol{E}(k)\\
\end{alignat}よって$$\boldsymbol{E}(k)=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{\frac{k’^2+k^2x^2}{1-x^2}}dx$$





全て、始めに部分積分を行います。

\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-k^2x^2}}dx&=-\frac{1}{k^2} \displaystyle\int_0^1 \sin^{-1} x \cdot \frac{-k^2x}{\sqrt{1-k^2x^2}}dx=-\frac{1}{k^2} \displaystyle\int_0^1 \sin^{-1} x \cdot (\sqrt{1-k^2x^2})’dx\\
&=-\frac{1}{k^2}\left([\sin^{-1} x\sqrt{1-k^2x^2}]_0^1-\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-k^2x^2}dx\right)\\
&=-\frac{1}{k^2}\left(\frac{π}{2}\sqrt{1-k^2}-\displaystyle\int_0^1 \sqrt{\frac{1-k^2x^2}{1-x^2}}dx\right)\\
&=-\frac{1}{k^2}\left\{\frac{π}{2}k’-\boldsymbol{E}(k)\right\}=\frac{1}{k^2}\left\{-\frac{π}{2}k’+\boldsymbol{E}(k)\right\}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-k^2x^2}}dx=\frac{1}{k^2}\left\{-\frac{π}{2}k’+\boldsymbol{E}(k)\right\}$$







\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x \cos^{-1} x}{\sqrt{1-k^2x^2}}dx&=-\frac{1}{k^2} \displaystyle\int_0^1 \cos^{-1} x \cdot \frac{-k^2x}{\sqrt{1-k^2x^2}}dx=-\frac{1}{k^2} \displaystyle\int_0^1 \cos^{-1} x \cdot (\sqrt{1-k^2x^2})’dx\\
&=-\frac{1}{k^2}\left([\cos^{-1} x\sqrt{1-k^2x^2}]_0^1+\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-k^2x^2}dx\right)\\
&=-\frac{1}{k^2}\left(-\frac{π}{2}+\displaystyle\int_0^1 \sqrt{\frac{1-k^2x^2}{1-x^2}}dx\right)\\
&=-\frac{1}{k^2}\left\{-\frac{π}{2}+\boldsymbol{E}(k)\right\}=\frac{1}{k^2}\left\{\frac{π}{2}-\boldsymbol{E}(k)\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x \cos^{-1} x}{\sqrt{1-k^2x^2}}dx=\frac{1}{k^2}\left\{\frac{π}{2}-\boldsymbol{E}(k)\right\}$$







\begin{alignat}{2}
(3)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{k’^2+k^2x^2}}dx&=\frac{1}{k^2} \displaystyle\int_0^1 \sin^{-1} x \cdot \frac{k^2x}{\sqrt{k’^2+k^2x^2}}dx=\frac{1}{k^2} \displaystyle\int_0^1 \sin^{-1} x \cdot (\sqrt{k’^2+k^2x^2})’dx\\
&=\frac{1}{k^2}\left([\sin^{-1} x\sqrt{k’^2+k^2x^2}]_0^1-\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{k’^2+k^2x^2}dx\right)\\
&=\frac{1}{k^2}\left(\frac{π}{2}-\displaystyle\int_0^1 \sqrt{\frac{k’^2+k^2x^2}{1-x^2}}dx\right)=\frac{1}{k^2}\left\{\frac{π}{2}-\boldsymbol{E}(k)\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{k’^2+k^2x^2}}dx=\frac{1}{k^2}\left\{\frac{π}{2}-\boldsymbol{E}(k)\right\}$$







\begin{alignat}{2}
(4)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x \cos^{-1} x}{\sqrt{k’^2+k^2x^2}}dx&=\frac{1}{k^2} \displaystyle\int_0^1 \cos^{-1} x \cdot \frac{k^2x}{\sqrt{k’^2+k^2x^2}}dx=\frac{1}{k^2} \displaystyle\int_0^1 \cos^{-1} x \cdot (\sqrt{k’^2+k^2x^2})’dx\\
&=\frac{1}{k^2}\left([\cos^{-1} x\sqrt{k’^2+k^2x^2}]_0^1+\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{k’^2+k^2x^2}dx\right)\\
&=\frac{1}{k^2}\left(-\frac{π}{2}k’+\displaystyle\int_0^1 \sqrt{\frac{k’^2+k^2x^2}{1-x^2}}dx\right)=\frac{1}{k^2}\left\{-\frac{π}{2}k’+\boldsymbol{E}(k)\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{k’^2+k^2x^2}}dx=\frac{1}{k^2}\left\{-\frac{π}{2}k’+\boldsymbol{E}(k)\right\}$$

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