xsin2x/(1+asin^{2}x)(1+bsin^{2}x)[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{x\sin 2x}{(1+a \sin^2 x)(1+b \sin^2 x)}dx=\frac{π}{a-b}\log \frac{(1+\sqrt{1+b})\sqrt{1+a}}{(1+\sqrt{1+a})\sqrt{1+b}}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{x\sin 2x}{(1+a \sin^2 x)(1+b \cos^2 x)}dx=\frac{π}{a+ab+b}\log \frac{(1+\sqrt{1+b})\sqrt{1+a}}{1+\sqrt{1+a}}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{x\sin 2x}{(1+a \cos^2 x)(1+b \cos^2 x)}dx=\frac{π}{a-b}\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{1+\sqrt{1+b}}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{x \sin 2x}{(1-\sin^2 A \cos^2 x)(1-\sin^2 B \cos^2 x)}dx=\frac{2π}{\cos^2 A-\cos^2 B}\log \frac{\cos \frac{A}{2}}{\cos \frac{B}{2}}
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0,\,|A| \lt π,\,|B| \lt π\)








<証明>

次の定積分の結果を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)(D)(E)(F)(G)(H)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1+a \sin^2 x)(1+b \sin^2 x)}dx=\frac{1}{a-b}\log \left|\frac{1+a \sin^2 x}{1+b \sin^2 x}\right|\\
&(B)  \displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1+a \sin^2 x)(1+b \cos^2 x)}dx=\frac{1}{a+ab+b}\log \left|\frac{1+a \sin^2 x}{1+b \cos^2 x}\right|\\
&(C)  \displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1+a \cos^2 x)(1+b \cos^2 x)}dx=\frac{1}{a-b}\log \left|\frac{1+b \cos^2 x}{1+a \cos^2 x}\right|\\
&(D)  \displaystyle\int \frac{\sin 2x}{(1-\sin^2 A \cos^2 x)(1-\sin^2 B\cos^2 x)}dx=\frac{1}{\cos^2 A- \cos^2 B}\log \left|\frac{1-\sin^2 B \cos^2 x}{1-\sin^2 A \cos^2x}\right|\\
&(E)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\log (1+a \sin^2 x)dx=π\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{2}\\
&(F)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\log (1+a \cos^2 x)dx=π\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{2}\\
&(G) \displaystyle\int_0^π \log (a+b \cos x)dx=π\log \frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}  (a \gt b \gt 0)\\
&(H) \displaystyle\int_0^π \log (a-b \cos x)dx=π\log \frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}  (a \gt b \gt 0)\\
\end{alignat}






全て、部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{x\sin 2x}{(1+a \sin^2 x)(1+b \sin^2 x)}dx\\
&=\left[\frac{x}{a-b}\log \left(\frac{1+a \sin^2 x}{1+b \sin^2 x}\right)\right]_0^{\frac{π}{2}}-\frac{1}{a-b}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log \left(\frac{1+a\sin^2 x}{1+b \sin^2 x}\right)dx\\
&=\frac{π}{2(a-b)}\log \frac{1+a}{1+b}-\frac{1}{a-b}\left\{\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+a \sin^2 x)dx-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+b \sin^2 x)dx\right\}\\
&=\frac{π}{a-b}\log \sqrt{\frac{1+a}{1+b}}-\frac{1}{a-b}\left(π\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{2}-π\log \frac{1+\sqrt{1+b}}{2}\right)\\
&=\frac{π}{a-b}\log \left(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+b}} \cdot \frac{2}{1+\sqrt{1+a}} \cdot \frac{1+\sqrt{1+b}}{2}\right)\\
&=\frac{π}{a-b}\log \frac{(1+\sqrt{1+b})\sqrt{1+a}}{(1+\sqrt{1+a})\sqrt{1+b}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{x\sin 2x}{(1+a \sin^2 x)(1+b \sin^2 x)}dx=\frac{π}{a-b}\log \frac{(1+\sqrt{1+b})\sqrt{1+a}}{(1+\sqrt{1+a})\sqrt{1+b}}$$







\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{x\sin 2x}{(1+a \sin^2 x)(1+b \cos^2 x)}dx\\
&=\left[\frac{x}{a+ab+b}\log \left(\frac{1+a \sin^2 x}{1+b \cos^2 x}\right)\right]_0^{\frac{π}{2}}-\frac{1}{a+ab+b}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log \left(\frac{1+a\sin^2 x}{1+b \cos^2 x}\right)dx\\
&=\frac{π}{2(a+ab+b)}\log (1+a)-\frac{1}{a+ab+b}\left\{\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+a \sin^2 x)dx-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+b \cos^2 x)dx\right\}\\
&=\frac{π}{a+ab+b}\log \sqrt{1+a}-\frac{1}{a+ab+b}\left(π\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{2}-π\log \frac{1+\sqrt{1+b}}{2}\right)\\
&=\frac{π}{a+ab+b}\log \left(\sqrt{1+a} \cdot \frac{2}{1+\sqrt{1+a}} \cdot \frac{1+\sqrt{1+b}}{2}\right)\\
&=\frac{π}{a+ab+b}\log \frac{(1+\sqrt{1+b})\sqrt{1+a}}{1+\sqrt{1+a}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{x\sin 2x}{(1+a \sin^2 x)(1+b \cos^2 x)}dx=\frac{π}{a+ab+b}\log \frac{(1+\sqrt{1+b})\sqrt{1+a}}{1+\sqrt{1+a}}$$







\begin{alignat}{2}
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{x\sin 2x}{(1+a \cos^2 x)(1+b \cos^2 x)}dx\\
&=\left[\frac{x}{a-b}\log \left(\frac{1+b \cos^2 x}{1+a \cos^2 x}\right)\right]_0^{\frac{π}{2}}-\frac{1}{a-b}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log \left(\frac{1+b\cos^2 x}{1+a \cos^2 x}\right)dx\\
&=\frac{1}{a-b}\left\{\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+a \cos^2 x)dx-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+b \cos^2 x)dx\right\}\\
&=\frac{1}{a-b}\left(π\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{2}-π\log \frac{1+\sqrt{1+b}}{2}\right)\\
&=\frac{π}{a-b}\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{1+\sqrt{1+b}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{x\sin 2x}{(1+a \cos^2 x)(1+b \cos^2 x)}dx=\frac{π}{a-b}\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{1+\sqrt{1+b}}$$







\begin{alignat}{2}
&(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{x \sin 2x}{(1-\sin^2 A \cos^2 x)(1-\sin^2 B \cos^2 x)}dx=\frac{2π}{\cos^2 A-\cos^2 B}\log \frac{\cos \frac{A}{2}}{\cos \frac{B}{2}}\\
&=\left[\frac{x}{\cos^2 A-\cos^2 B}\log \left|\frac{1-\sin^2 B \cos^2 x}{1-\sin^2 A \cos^2 x}\right|\right]_0^{\frac{π}{2}}-\frac{1}{\cos^2 A-\cos^2 B}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\log \left(\frac{1-\sin^2 B \cos^2 x}{1-\sin^2 A \cos^2 x}\right)dx\\
&=\frac{1}{\cos^2 A-\cos^2 B}\left\{\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\log (1- \sin^2 A \cos^2 x)dx-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\log (1-\sin^2B \cos^2 x)dx\right\}
\end{alignat}ここで次の定積分について \((0 \leq a=\sin A=\sin B \lt 1)\)

被積分関数は \(\displaystyle x=\frac{π}{2}\) を軸として線対称であるから$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log(1-a^2 \cos^2 x)dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \log(1-a^2 \cos^2 x)dx$$積分を切り離して \((G)(H)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^π \log(1-a \cos^2 x)dx+\displaystyle\int_0^π \log(1+a \cos x)dx\right\}\\
&=\frac{1}{2} \left(π\log \frac{1+\sqrt{1-a^2}}{2}+π\log \frac{1+\sqrt{1-a^2}}{2}\right)=π\log \frac{1+\sqrt{1-a^2}}{2}\\
\end{alignat}となるので、元の積分計算に戻ると
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{\cos^2 A-\cos^2 B}\left(π\log \frac{1+\sqrt{1-\sin^2 A}}{2}-π\log \frac{1+\sqrt{1-\sin^2 B}}{2}\right)\\
&=\frac{π}{\cos^2 A-\cos^2 B}\left(\log \frac{1+\cos A}{2}-\log \frac{1+\cos B}{2}\right)\\
&=\frac{π}{\cos^2 A-\cos^2 B} \log \frac{\cos^2 \frac{A}{2}}{\cos^2 \frac{B}{2}}=\frac{2π}{\cos^2 A-\cos^2 B}\log \frac{\cos \frac{A}{2}}{\cos \frac{B}{2}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{x \sin 2x}{(1-\sin^2 A \cos^2 x)(1-\sin^2 B \cos^2 x)}dx=\frac{2π}{\cos^2 A-\cos^2 B}\log \frac{\cos \frac{A}{2}}{\cos \frac{B}{2}}$$



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