xsinax/(x^2+b^2)^2[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{(x^2+b^2)^2}dx=\frac{π}{4b^3}(1+ab)e^{-ab}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\sin ax}{(x^2+b^2)^2}dx=\frac{πae^{-ab}}{4b}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\cos ax}{(x^2+b^2)^2}dx=\frac{π}{4b}(1-ab)e^{-ab}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3\sin ax}{(x^2+b^2)^2}dx=\frac{π}{4}(2-ab)e^{-ab}\\
&(5)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-x^2)\cos ax}{(1+x^2)^2}dx=\frac{πae^{-a}}{2}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)










<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)$$(A) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{x^2+b^2}dx=\frac{πe^{-ab}}{2b}  (a,b \gt 0)$$





\((1)\) \((A)\) の式の両辺を \(b\) で微分します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(-2b)\cos ax}{(x^2+b^2)^2}dx=\frac{π}{2} \cdot \frac{-ae^{-ab} \cdot b -e^{-ab}}{b^2}=-\frac{π}{2b^2}(1+ab)e^{-ab}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{(x^2+b^2)^2}dx=\frac{π}{4b^3}(1+ab)e^{-ab}$$






\((2)\) \((1)\) の式の両辺を \(a\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-x \sin ax}{(x^2+b^2)^2}dx&=\frac{π}{4b^3}\left\{be^{-ab}+(1+ab)(-b)e^{-ab}\right\}\\
&=\frac{π}{4b^3}(-ab^2e^{-ab})=-\frac{πa}{4b}e^{-ab}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\sin ax}{(x^2+b^2)^2}dx=\frac{πae^{-ab}}{4b}$$






\((3)\) \((2)\) の式の両辺を \(a\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2 \cos ax}{(x^2+b^2)^2}dx&=\frac{π}{4b}(e^{-ab}-abe^{-ab})=\frac{π}{4b}(1-ab)e^{-ab}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\cos ax}{(x^2+b^2)^2}dx=\frac{π}{4b}(1-ab)e^{-ab}$$






\((4)\) \((3)\) の式の両辺を \(a\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-x^3 \cos ax}{(x^2+b^2)^2}dx&=\frac{π}{4b}\{-be^{-ab}+(1-ab)(-b)e^{-ab}\}\\
&=-\frac{π}{4}\{e^{-ab}+(1-ab)e^{-ab}\}=\frac{π}{4}(2-ab)e^{-ab}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3\sin ax}{(x^2+b^2)^2}dx=\frac{π}{4}(2-ab)e^{-ab}$$






\((5)\) \((1)(3)\) の式で \(b=1\) とすると
\begin{alignat}{2}
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{(x^2+1)^2}dx=\frac{π}{4}(1+a)e^{-a}\\
&(C)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\cos ax}{(x^2+1)^2}dx=\frac{π}{4}(1-a)e^{-a}\\
\end{alignat}積分を切り離し、これらの式を代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-x^2)\cos ax}{(1+x^2)^2}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{(x^2+1)^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\cos ax}{(x^2+1)^2}dx\\
&=\frac{π}{4}(1+a)e^{-a}-\frac{π}{4}(1-a)e^{-a}=\frac{πae^{-a}}{2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-x^2)\cos ax}{(1+x^2)^2}dx=\frac{πae^{-a}}{2}$$

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