xsin^{p}x[0,π]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^π \sin^{2n} xdx=π\cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\\
&(2) \displaystyle\int_0^π \sin^{2n+1} xdx=2 \cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\
&(3) \displaystyle\int_0^π x \sin^p xdx=π \cdot 2^{p-1}B\left(\frac{p+1}{2},\frac{p+1}{2}\right)  (p \gt -1)\\
&(4) \displaystyle\int_0^π x\sin^{2n} xdx=\frac{π^2}{2}\cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\\
&(5) \displaystyle\int_0^π x\sin^{2n+1} xdx=π \cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)







<証明>

\((3)(4)(5)\) については、次の定積分における変形を用います。(詳細はこちらです。)$$(A) \displaystyle\int_0^πxf( \sin x)dx=\frac{π}{2} \displaystyle\int_0^π f( \sin x)dx$$





\((1)\) \(x=2t\) と置きます。\((dx=2dt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^π \sin^{2n} xdx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^{2n} 2t \cdot 2dt=2^{2n+1}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^{2n} t \cos^{2n} tdt\\
&           =2^{2n}B\left(n+\frac{1}{2},n+\frac{1}{2}\right)=2^{2n} \cdot \frac{Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)}{Γ(2n+1)}\\
&           =2^{2n} \cdot \frac{1}{(2n)!}\cdot \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{π} \cdot \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{π}=π\cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^π \sin^{2n} xdx=π\cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$$








\((2)\) \(x=2t\) と置きます。\((dx=2dt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^π \sin^{2n+1} xdx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^{2n+1} 2t \cdot 2dt=2^{2n+2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^{2n+1} t \cos^{2n+1} tdt\\
&            =2^{2n+1}B\left(n+1,n+1\right)=2^{2n+1} \cdot \frac{Γ\left(n+1\right)Γ\left(n+1\right)}{Γ(2n+2)}\\
&            =2^{2n+1} \cdot \frac{n! \cdot n!}{(2n+1)!}=2 \cdot \frac{(2n)!(2n)!}{(2n+1)!}=2\cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^π \sin^{2n+1} xdx=2\cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$$







\((3)\) \(x=2t\) と置きます。\((dx=2dt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^π x \sin^p xdx=\frac{π}{2}\displaystyle\int_0^π \sin^p xdx=\frac{π}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^p 2t \cdot 2dt\\
&            =π \cdot 2^p \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^p t \cos^p tdt\\
&            =π \cdot 2^{p-1}B\left(\frac{p+1}{2},\frac{p+1}{2}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^π x \sin^p xdx=π \cdot 2^{p-1}B\left(\frac{p+1}{2},\frac{p+1}{2}\right)$$







\((4)\) \((A)\) を用いてから \((1)\) の結果を代入します。$$\displaystyle\int_0^π x\sin^{2n} xdx=\frac{π}{2}\displaystyle\int_0^π \sin^{2n} xdx=\frac{π}{2}\cdot π \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{π^2}{2}\cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$$







\((5)\) \((A)\) を用いてから \((2)\) の結果を代入します。$$\displaystyle\int_0^π x\sin^{2n+1} xdx=\frac{π}{2}\displaystyle\int_0^π \sin^{2n+1} xdx=\frac{π}{2}\cdot 2 \cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}=π \cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$$

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