xsinx/(1-cosAcosx)(1-cosBcosx)[0,π]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{x \sin x}{(\sin x+\cos x) \cos^2x}dx=-\frac{π}{8}\log 2+\frac{π}{4}-\frac{1}{2}\log 2\\
&(2)  \displaystyle\int_0^π \frac{x \sin x}{(1-\cos A \cos x)(1-\cos B \cos x)}dx\\
&=π\csc \frac{A+B}{2}\csc \frac{A-B}{2} \log \frac{1+\tan \frac{A}{2}}{1+\tan \frac{B}{2}}
\end{alignat}













<証明>

次の定積分の結果を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log (1+\tan x)dx=\frac{π}{8}\log 2\\
&(B)  \displaystyle\int_0^π \log (a+b \cos x)dx=π \log \frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}  (a \gt |b| \gt 0)\\
\end{alignat}





\((1)\) 部分積分を行うために、次の積分を計算しておきます。

\(\tan x=t\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{1}{\cos^2 x}dx=dt\right)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int \frac{\sin x}{(\sin x+\cos x) \cos^2 x}dx&=\displaystyle\int \frac{\tan x}{\tan x+1} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int \frac{t}{1+t}dt=\displaystyle\int \left(1-\frac{1}{1+t}\right)dt\\
&=t- \log |1+t|=\tan x-\log |1+\tan x|\\
\end{alignat}部分積分を行い \((A)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{x \sin x}{(\sin x+\cos x) \cos^2x}dx&=\left[x\{\tan x-\log |1+\tan x|\}\right]_0^{\frac{π}{4}}-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \{\tan x-\log |1+\tan x|\}dx\\
&=\frac{π}{4}(1-\log 2)-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \tan xdx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log (1+\tan x)dx\\
&=\frac{π}{4}(1-\log 2)+[\log (\cos x)]_0^{\frac{π}{4}}+\frac{π}{8}\log 2\\
&=\frac{π}{4}-\frac{π}{4}\log 2-\frac{1}{2}\log 2+\frac{π}{8}\log 2=-\frac{π}{8}\log 2+\frac{π}{4}-\frac{1}{2}\log 2
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{x \sin x}{(\sin x+\cos x) \cos^2x}dx=-\frac{π}{8}\log 2+\frac{π}{4}-\frac{1}{2}\log 2$$








\((2)\) 部分積分を行うために、次の積分を計算しておきます。

\(\cos A=a,\,\cos B=b\)、また \(\cos x=t\) と置きます。\((-\sin xdx=dt)\) $$\displaystyle\int \frac{\sin x}{(1-\cos A \cos x)(1-\cos B\cos x)}dx=-\displaystyle\int \frac{1}{(1-at)(1-bt)}dt$$被積分関数を部分分数分解をします。$$\frac{C}{1-at}+\frac{D}{1-bt}=\frac{1}{(1-at)(1-bt)}$$\(C,D\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
C(1-bt)+D(1-at)&=1\\
&\\
C-Cbt+D-Dat&=1\\
&\\
(-Cb-Da)t+C+D&=1\\
&\\
Cb+Da=1,  C+D=1
\end{alignat}これを解くと$$C=\frac{a}{a-b},  D=-\frac{b}{a-b}$$となるので
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{a-b}\displaystyle\int \left(\frac{a}{1-at}-\frac{b}{1-bt}\right)dt\\
&=\frac{1}{b-a}(-\log |1-at|+\log |1-bt|)=\frac{1}{b-a}\log \left|\frac{1-bt}{1-at}\right|\\
&=\frac{1}{\cos B-\cos A}\log \left|\frac{1-\cos B \cos x}{1-\cos A \cos x}\right|\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int \frac{\sin x}{(1-\cos A \cos x)(1-\cos B\cos x)}dx=\frac{1}{\cos B-\cos A}\log \left|\frac{1-\cos B \cos x}{1-\cos A \cos x}\right|$$
この積分を用いて、部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^π \frac{x \sin x}{(1-\cos A \cos x)(1-\cos B \cos x)}dx\\
&=\left[\frac{x}{\cos B-\cos A}\log \left|\frac{1-\cos B \cos x}{1-\cos A \cos x}\right|\right]_0^π
-\displaystyle\int_0^π \frac{1}{\cos B-\cos A}\log \left|\frac{1-\cos B \cos x}{1-\cos A \cos x}\right|dx\\
&=\frac{π}{\cos B-\cos A}\log \left|\frac{1+\cos B}{1+\cos A }\right|-\displaystyle\int_0^π\frac{1}{\cos B-\cos A}\log \left|\frac{1-\cos B \cos x}{1-\cos A \cos x}\right|dx\\
&=\frac{π}{\cos B-\cos A}\log \left|\frac{1+\cos B}{1+\cos A }\right|-\frac{1}{\cos B-\cos A} \left\{\displaystyle\int_0^π \log (1-\cos B \cos x)dx-\displaystyle\int_0^π \log (1-\cos A \cos x)dx\right\}\\
\end{alignat}\((B)\) の式を用いると、右側の積分はそれぞれ次のようになります。
\begin{alignat}{2}
&(α)  \displaystyle\int_0^π \log (1-\cos A \cos x)dx=π\log \frac{1+\sqrt{1-\cos^2 A}}{2}=π\log \frac{1+\sin A}{2}\\
&(β)  \displaystyle\int_0^π \log (1-\cos B \cos x)dx=π\log \frac{1+\sqrt{1-\cos^2 B}}{2}=π\log \frac{1+\sin B}{2}\\
\end{alignat}これらの差を取ると
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^π \log (1-\cos B \cos x)dx-\displaystyle\int_0^π \log (1-\cos A \cos x)dx&=π\log \frac{1+\sin B}{2}-π\log \frac{1+\sin A}{2}\\
&=π\log (1+\sin B)-π\log 2-π\log (1+\sin B)+π\log 2\\
&=π\{\log (1+\sin B)-\log (1+\sin A)\}=π\log \frac{1+\sin B}{1+\sin A}\\
\end{alignat}となるので、元の計算へ戻ります。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{π}{\cos B-\cos A}\log \frac{1+\cos B}{1+\cos A }-\frac{π}{\cos B-\cos A}\log \frac{1+\sin B}{1+\sin A }\\
&=\frac{π}{\cos B-\cos A}\log \frac{1+\sin A}{1+\cos A} \cdot \frac{1+\cos B}{1+\sin B}\\
&=\frac{π}{2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}} \log \frac{1+2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{2 \cos^2 \frac{A}{2}} \cdot \frac{2 \cos^2 \frac{B}{2}}{1+2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}}\\
&=\frac{π}{2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}} \log \frac{\left(\cos \frac{A}{2}+\sin \frac{A}{2}\right)^2}{ \cos^2 \frac{A}{2}} \cdot \frac{\cos^2 \frac{B}{2}}{\left(\cos \frac{B}{2}+\sin \frac{B}{2}\right)^2}\\
&=\frac{π}{2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}} \log \left(\frac{1+\tan \frac{A}{2}}{1+\tan \frac{B}{2}}\right)^2\\
&=π\csc \frac{A+B}{2}\csc \frac{A-B}{2} \log \frac{1+\tan \frac{A}{2}}{1+\tan \frac{B}{2}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^π \frac{x \sin x}{(1-\cos A \cos x)(1-\cos B \cos x)}dx=π\csc \frac{A+B}{2}\csc \frac{A-B}{2} \log \frac{1+\tan \frac{A}{2}}{1+\tan \frac{B}{2}}$$

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