xsinxcosx/√(1-k^2sin^{2}x)[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{x \sin x \cos x}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 x}}dx=\frac{1}{2k^2}\{-πk’+2 \boldsymbol{E}(k)\}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{x \sin x \cos x}{\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}dx=\frac{1}{2k^2}\{π-2 \boldsymbol{E}(k)\}\\
\end{alignat}ただし \(k’=\sqrt{1-k^2}\)








<証明>

予め、次の積分を計算しておきます。
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}dx=-\frac{1}{k^2}\sqrt{1-k^2 \sin^2 x}\\
&(B) \displaystyle\int \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1-k^2\cos^2 x}}dx=\frac{1}{k^2}\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}\\
\end{alignat}


\((A)\) \(k^2 \sin^2 x=t\) と置きます。\((2k^2 \sin x \cos xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}dx=\frac{1}{2k^2}\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-t}}dt=\frac{1}{2k^2} \cdot \sqrt{1-t} \cdot (-1)\\
&                 =-\frac{1}{k^2}\sqrt{1-k^2 \sin^2 x}\\
\end{alignat}




\((B)\) \(k^2 \cos^2 x=t\) と置きます。\((-2k^2 \sin x \cos xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1-k^2\cos^2 x}}dx=-\frac{1}{2k^2}\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-t}}dt=-\frac{1}{2k^2} \cdot \sqrt{1-t} \cdot (-1)\\
&                 =\frac{1}{k^2}\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}\\
\end{alignat}







\((1)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{x \sin x \cos x}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 x}}dx\\
&=\left[-\frac{x}{k^2}\sqrt{1-k^2\sin^2 x}\right]_0^{\frac{π}{2}}+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{1}{k^2}\sqrt{1-k^2 \sin^2 x}dx\\
&=-\frac{π}{2k^2}\sqrt{1-k^2}+\frac{1}{k^2}\boldsymbol{E}(k)=\frac{1}{2k^2}\{-πk’+2 \boldsymbol{E}(k)\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{x \sin x \cos x}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 x}}dx=\frac{1}{2k^2}\{-πk’+2 \boldsymbol{E}(k)\}$$







\((2)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{x \sin x \cos x}{\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}dx\\
&=\left[\frac{x}{k^2}\sqrt{1-k^2\cos^2 x}\right]_0^{\frac{π}{2}}-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{1}{k^2}\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}dx\\
&=\frac{π}{2k^2}-\frac{1}{k^2}\boldsymbol{E}(k)=\frac{1}{2k^2}\{π-2 \boldsymbol{E}(k)\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{x \sin x \cos x}{\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}dx=\frac{1}{2k^2}\{π-2 \boldsymbol{E}(k)\}$$

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