xtan^{-1}(ax)/(x^2+b^2)(x^2+c^2)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \tan^{-1} ax}{(x^2+b^2)(x^2+c^2)}dx=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{π}{b^2-c^2}\log \frac{1+ab}{1+ac}  (b≠c)\\
\displaystyle \frac{πa}{2b(1+ab)}  (b=c)\\
\end{cases}\\
&(2)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \tan^{-1} \frac{a}{x}}{(x^2+b^2)(x^2+c^2)}dx
\begin{cases}
\displaystyle \frac{π}{b^2-c^2} \log \frac{b(a+c)}{c(a+b)}  (b≠c)\\
\displaystyle \frac{πa}{2b^2(a+b)}  (b=c)\\
\end{cases}
\end{alignat}ただし、全て \(a,b,c \gt 0\)








<証明>

次の定積分の結果を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (p^2+x^2)}{1+q^2x^2}dx=\frac{π}{q} \log \left(p+\frac{1}{q}\right)\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{ \log (p^2+x^2)}{q^2+x^2}dx=\frac{π}{q}\log (p+q)\\
&(C)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \tan^{-1} qx}{(p^2+x^2)^2}dx=\frac{πq}{4p(1+pq)}\\
\end{alignat}ただし、全て \(p,q \gt 0\)





\((1)\) \((α)\) \(b≠c\) のとき

分数を切り離し、部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \tan^{-1} ax}{(x^2+b^2)(x^2+c^2)}dx=2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \tan^{-1} ax}{(x^2+b^2)(x^2+c^2)}dx\\
&=\frac{2}{c^2-b^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\tan^{-1}ax}{x^2+b^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\tan^{-1}ax}{x^2+c^2}dx\right)\\
&=\frac{2}{c^2-b^2}\left\{\left[\frac{1}{2}\log (x^2+b^2) \tan^{-1} ax\right]_0^{\infty} -\frac{a}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (x^2+b^2)}{1+a^2x^2}dx-\left[\frac{1}{2}\log (x^2+c^2) \tan^{-1} ax\right]_0^{\infty} +\frac{a}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (x^2+c^2)}{1+a^2x^2}dx\right\}\\
&=\frac{2}{c^2-b^2}\left\{\frac{π}{4}\displaystyle\lim_{x \to \infty} \log (x^2+b^2)-\frac{π}{4}\displaystyle\lim_{x \to \infty} \log (x^2+c^2)-\frac{a}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (x^2+b^2)}{1+a^2x^2}dx+\frac{a}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (x^2+c^2)}{1+a^2x^2}dx\right\}\\
&=\frac{a}{b^2-c^2}\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (x^2+b^2)}{1+a^2x^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (x^2+c^2)}{1+a^2x^2}dx\right\}\\
&=\frac{a}{b^2-c^2}\left\{\frac{π}{a}\log \left(b+\frac{1}{a}\right)-\frac{π}{a}\log \left(c+\frac{1}{a}\right)\right\}\\
&=\frac{π}{b^2-c^2}\log \frac{1+ab}{a} \cdot \frac{a}{1+ac}=\frac{π}{b^2-c^2}\log \frac{1+ab}{1+ac}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \tan^{-1} ax}{(x^2+b^2)(x^2+c^2)}dx=\frac{π}{b^2-c^2}\log \frac{1+ab}{1+ac}  (b≠c)$$




\((β)\) \(b=c\) のとき$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \tan^{-1} ax}{(x+b)^2}dx=2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \tan^{-1} ax}{(x+b)^2}dx=2 \cdot \frac{πa}{4b(1+ab)}=\frac{πa}{2b(1+ab)}  (b=c)$$








\((2)\) \((α)\) \(b≠c\) のとき
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \tan^{-1} \frac{a}{x}}{(x^2+b^2)(x^2+c^2)}dx\\
&=2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \tan^{-1} \frac{a}{x}}{(x^2+b^2)(x^2+c^2)}dx=2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \cot^{-1} \frac{x}{a}}{(x^2+b^2)(x^2+c^2)}dx\\
&=\frac{2}{c^2-b^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \cot^{-1} \frac{x}{a}}{x^2+b^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \cot^{-1} \frac{x}{a}}{x^2+c^2}dx\right)\\
&=\frac{2}{c^2-b^2}\left\{\left[\frac{1}{2}\log (x^2+b^2) \cot^{-1} \frac{x}{a}\right]_0^{\infty} +\frac{a}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (x^2+b^2)}{x^2+a^2}dx-\left[\frac{1}{2}\log (x^2+c^2) \cot^{-1} \frac{x}{a}\right]_0^{\infty} -\frac{a}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (x^2+c^2)}{x^2+a^2}dx\right\}\\
&=\frac{2}{c^2-b^2}\left\{-\frac{π}{4}\log b^2 -\frac{a}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (x^2+b^2)}{x^2+a^2}dx+\frac{π}{4}\log c^2-\frac{a}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (x^2+c^2)}{x^2+a^2}dx\right\}\\

&=\frac{2}{c^2-b^2}\left[\frac{π}{2}\log \frac{c}{b}+\frac{a}{2}\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (x^2+b^2)}{x^2+a^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (x^2+c^2)}{x^2+a^2}dx\right\}\right]\\
&=\frac{2}{c^2-b^2}\left[\frac{π}{2}\log \frac{c}{b}+\frac{a}{2}\left\{\frac{π}{a}\log (a+b)-\frac{π}{a}\log (a+c)\right\}\right]\\
&=\frac{π}{c^2-b^2}\left\{\log \frac{c}{b}+\log (a+b)-\log (a+c)\right\}\\
&=\frac{π}{b^2-c^2}\log \left(\frac{b}{c}\cdot \frac{a+c}{a+b}\right)=\frac{π}{b^2-c^2} \log \frac{b(a+c)}{c(a+b)}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \tan^{-1} \frac{a}{x}}{(x^2+b^2)(x^2+c^2)}dx=\frac{π}{b^2-c^2} \log \frac{b(a+c)}{c(a+b)}  (b≠c)$$




\((β)\) \(b=c\) のとき
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \tan^{-1}\frac{a}{x}}{(x^2+b^2)^2}dx&=2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \cot^{-1}\frac{x}{a}}{(x^2+b^2)^2}dx\\
&=\left[-\frac{\cot^{-1}\frac{x}{a}}{x^2+b^2}\right]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{a}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}dx\\
&=\frac{π}{2b^2}-\frac{a}{b^2-a^2}\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{1}{x^2+a^2}-\frac{1}{x^2+b^2}\right)dx\\
&=\frac{π}{2b^2}-\frac{a}{b^2-a^2}\left[\frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}-\frac{1}{b}\tan^{-1}\frac{x}{b}\right]_0^{\infty}\\
&=\frac{π}{2b^2}-\frac{a}{b^2-a^2}\left(\frac{π}{2a}-\frac{π}{2b}\right)=\frac{π}{2}\left(\frac{1}{b^2}-\frac{a}{b^2-a^2} \cdot \frac{b-a}{ab}\right)\\
&=\frac{π}{2}\left\{\frac{1}{b^2}-\frac{1}{b(b+a)}\right\}=\frac{π}{2} \cdot \frac{(b+a)-b}{b^2(b+a)}=\frac{πa}{2b^2(a+b)}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \tan^{-1}\frac{a}{x}}{(x^2+b^2)^2}dx=\frac{πa}{2b^2(a+b)}  (b=c)$$

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