xtanx[0,π/4]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} x \cot xdx=\frac{π}{2} \log 2\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} x \tan xdx=∞\\
&(3)  \displaystyle\int_0^π x \tan xdx=-π \log 2\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} x \tan xdx=-\frac{π}{8} \log 2+\frac{1}{2}G\\
&(5)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} x \cot xdx=\frac{π}{8} \log 2+\frac{1}{2}G
\end{alignat}






<証明>

\((1)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} x \cot xdx=[x \log | \sin x|]_0^{\frac{π}{2}}-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\log |\sin x|dx=\frac{π}{2} \log 2
\end{alignat}




\((2)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} x \tan xdx&=\left[-x \log \cos x\right]_0^{\frac{π}{2}} +\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\log \cos xdx\\
&=-\frac{π}{2} \displaystyle\lim_{x \to \frac{π}{2}}\left(\log\cos x \right)-\frac{π}{2}\log 2\\
&=-\frac{π}{2} \cdot (-∞) -\frac{π}{2}\log 2=∞\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} x \tan xdx=∞$$







\((3)\) \(\displaystyle x=\frac{π}{2}\) で不連続なので文字 \(a,b\) を用いて、次のように積分を切り離します。$$\displaystyle\int_0^π x \tan xdx=\displaystyle\int_0^a x \tan xdx+\displaystyle\int_b^π x \tan xdx$$そして \(a\) を負の方向から \(\displaystyle \frac{π}{2}\)、\(b\) を正の方向から\(\displaystyle \frac{π}{2}\) への極限を考えることにします。積分計算を進めます。
\begin{alignat}{2}
&=[-x \log | \cos x|]_0^a+\displaystyle\int_0^a \log | \cos x|dx\\
&    +[-x \log | \cos x|]_b^π+\displaystyle\int_b^π \log | \cos x|dx\\
&=-a \log | \cos a|+b \log | \cos b|\\
&    +\displaystyle\int_0^a \log | \cos x|dx+\displaystyle\int_b^π \log | \cos x|dx
\end{alignat}このとき$$\displaystyle\lim_{a,b \to \frac{π}{2}}\{-a \log | \cos a|+b \log | \cos b|\}=0$$また残りの項(積分)について \(\displaystyle a=b=\frac{π}{2}\) とすると$$\displaystyle\int_0^\frac{π}{2} \log ( \cos x)dx+\displaystyle\int_\frac{π}{2}^π \log | \cos x|dx$$右側の積分について \(\displaystyle x-\frac{π}{2}=t\) と置くと$$\displaystyle\int_\frac{π}{2}^π \log | \cos x|dx=\displaystyle\int_0^\frac{π}{2} \log \left| \cos \left(t+\frac{π}{2}\right)\right|dt=\displaystyle\int_0^\frac{π}{2} \log | \sin t|dt=\displaystyle\int_0^\frac{π}{2} \log ( \sin x)dx$$以上より$$\displaystyle\int_0^π x \tan xdx=\displaystyle\int_0^\frac{π}{2} \log ( \cos x)dx+\displaystyle\int_0^\frac{π}{2} \log ( \sin x)dx=-\frac{π}{2} \log 2-\frac{π}{2} \log 2=-π \log 2$$






\((4)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} x \tan xdx=[x \log | \cos x|]_0^{\frac{π}{4}}+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log (\cos x)dx\\
&            =-\frac{π}{4} \log \frac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log ( \cos x)dx
\end{alignat}\(\displaystyle \frac{π}{4}\log 2 \) を引いて加えます。\(+\) の方は積分で表します。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{π}{8} \log 2-\frac{π}{4}\log 2+\frac{π}{4}\log 2+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log ( \cos x)dx\\
&=-\frac{π}{8}\log 2+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log 2dx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log ( \cos x)dx\\
&=-\frac{π}{8}\log 2+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log ( 2\cos x)dx
\end{alignat}右側の積分について \( \log (2 \cos x)\) を級数展開します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log (2 \cos x)dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \cos (2nx)}{n}dx\\
&                =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \cos(2nx)dx\\
&                =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\left[\frac{ \sin (2nx)}{2n}\right]_0^{\frac{π}{4}}\\
&                =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n^2} \sin\frac{nπ}{2}\\
&                =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}-\frac{1}{11^2}+ \cdots\right)=\frac{1}{2}G
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} x \tan xdx=-\frac{π}{8} \log 2+\frac{1}{2}G$$







\((5)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} x \cot xdx=[x \log | \sin x|]_0^{\frac{π}{4}}-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log (\sin x)dx\\
&            =\frac{π}{4} \log \frac{1}{\sqrt{2}}-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log ( \sin x)dx
\end{alignat}\(\displaystyle \frac{π}{4}\log 2 \) を加えて引きます。\(-\) の方は積分で表します。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{π}{8} \log 2+\frac{π}{4}\log 2-\frac{π}{4}\log 2-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log ( \sin x)dx\\
&=\frac{π}{8}\log 2-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log 2dx-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log ( \sin x)dx\\
&=\frac{π}{8}\log 2-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log ( 2\sin x)dx
\end{alignat}右側の積分について \( \log (2 \sin x)\) を級数展開します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log(2 \sin x)dx=-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (2nx)}{n}dx=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \cos (2nx)dx\\
&               =-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \left[\frac{ \sin (2nx)}{2n}\right]_0^{\frac{π}{4}}=-\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \sin \frac{nπ}{2}\\
&               =-\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}-\frac{1}{11^2}+ \cdots\right)=-\frac{1}{2}G\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} x \cot xdx=\frac{π}{8} \log 2+\frac{1}{2}G$$

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