(x^v-a^v)/(x-a)(x+b)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{1-x^{μ-1}}{1-x}dx=ψ(μ)+γ  (μ \gt 0)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^v-a^v}{(x-a)(x+b)}dx=\frac{π}{a+b}\left(b^v \mathrm{csc}\,vπ-a^v \cot vπ -\frac{a^v}{π}\log \frac{b}{a}\right)  (a,b,v \gt 0)\\
\end{alignat}







<証明>

$$(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{1-x^{μ-1}}{1-x}dx=ψ(μ)-ψ(1)=ψ(μ)+γ$$




\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^v-a^v}{(x-a)(x+b)}dx\\
&=\frac{1}{a+b}\displaystyle\int_0^{\infty} (x^v-a^v)\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+b}\right)dx\\
&=\frac{1}{a+b}\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^v}{x-a}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^v}{x+b}dx-a^v \displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+b}\right)dx\right\}
\end{alignat}
それぞれの積分を計算していきます。

\((A)\) \(x=at\) と置きます。\((dx=adt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^v}{x-a}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(at)^v}{at-a}\cdot adt=a^v \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^v}{t-1}dt=-a^v \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^v}{1-t}dt\\
&\\
&           =-a^v \cdot π\cot (v+1)π=-a^v \cdot π\cot vπ\\
\end{alignat}
\((B)\) \(x=bt\) と置きます。\((dx=bdt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^v}{x+b}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(bt)^v}{bt+b}\cdot vdt=b^v \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^v}{t+1}dt\\
&\\
&           =b^vB(v+1,-v)=b^vΓ(v+1)Γ(-v)=-b^vΓ(v)\{-vΓ(-v)\}\\
&\\
&           =-b^vΓ(v)Γ(1-v)=-b^v \cdot π\csc vπ\\
\end{alignat}
\begin{alignat}{2}
&(C) \displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+b}\right)dx=[\log|x-a|-\log|x+b|]_0^{\infty}\\
&                          =\left[\log \left|\frac{x-a}{x+b}\right|\right]=\log \frac{b}{a}\\
\end{alignat}よって
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^v-a^v}{(x-a)(x+b)}dx=\frac{1}{a+b}\left(-a^v \cdot π\cot vπ+b^v \cdot π\csc vπ-a^v \log \frac{b}{a}\right)\\
&                  =\frac{π}{a+b}\left(b^v \mathrm{csc}\,vπ-a^v \cot vπ -\frac{a^v}{π}\log \frac{b}{a}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^v-a^v}{(x-a)(x+b)}dx=\frac{π}{a+b}\left(b^v \mathrm{csc}\,vπ-a^v \cot vπ -\frac{a^v}{π}\log \frac{b}{a}\right)$$

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