x(x^2+4b^2)cosax/sinh(πx/2b)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(x^2+b^2)\cos ax}{\cosh \frac{πx}{2b}}dx=\frac{2b^3}{\cosh^3(ab)}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x(x^2+4b^2)\cos ax}{\sinh \frac{πx}{2b}}dx=\frac{6b^4}{\cosh^4(ab)}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0,b \gt 0\)












<証明>

\((1)\) 積分を切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(x^2+b^2)\cos ax}{\cosh \frac{πx}{2b}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\cos ax}{\cosh \frac{πx}{2b}}dx+b^2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{\cosh \frac{πx}{2b}}dx$$次の積分を \(I(a)\) と置きます。(計算は別ページで行っています。詳細はこちらです。)$$I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{\cosh \frac{πx}{2b}}dx=\frac{π}{2}\cdot \frac{2b}{π}\mathrm{sech} \left(\frac{πa}{2} \cdot \frac{2b}{π}\right)=b\ \mathrm{sech} \ (ba)$$\(I(a)\) を \(a\) で \(2\) 回微分すると$$I^{(2)}(a)=-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\cos ax}{\cosh \frac{πx}{2b}}dx$$となるので、求める積分値は$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(x^2+b^2)\cos ax}{\cosh \frac{πx}{2b}}dx=-I^{(2)}(a)+b^2I(a)$$\(I^{(2)}(a)\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
&I(a)=b\ \mathrm{sech} \ (ba)= b \{\cosh (ba)\}^{-1}\\
&\\
&I’(a)=-b \{\cosh (ba)\}^{-2} \cdot b \sinh (ba)=-b^2 \cdot \frac{\sinh (ba)}{\cosh^2 (ba)}\\
&\\
&I’’(a)=-b^2 \cdot \frac{b \cosh (ba) \cosh^2 (ba)- \sinh (ba) \cdot 2 \cosh (ba) \cdot b \sinh (ba)}{\cosh^4 (ba)}\\
&    =-b^2 \cdot \frac{b \cosh^2 (ba) -2b \sinh^2 (ba)}{\cosh^3 (ba)}\\
&    =-b^3 \cdot \frac{ \cosh^2 (ba) -2 \sinh^2 (ba)}{\cosh^3 (ba)}\\
&    =-b^3 \cdot \frac{ 1- \sinh^2 (ba)}{\cosh^3 (ba)}\\
\end{alignat}よって
\begin{alignat}{2}
&-I^{(2)}(a)+b^2I(a)=b^3 \cdot \frac{ 1- \sinh^2 (ba)}{\cosh^3 (ba)}+b^3 \cdot \frac{1}{\cosh (ba)}\\
&                =b^3 \cdot \frac{1-\sinh^2 (ba)+ \cosh^2 (ba)}{\cosh^3 (ba)}=\frac{2b^3}{\cosh^3 (ba)}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(x^2+b^2)\cos ax}{\cosh \frac{πx}{2b}}dx=\frac{2b^3}{\cosh^3(ab)}$$







\((2)\) 積分を切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x(x^2+4b^2)\cos ax}{\sinh \frac{πx}{2b}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3\cos ax}{\sinh \frac{πx}{2b}}dx+4b^2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \cos ax}{\sinh \frac{πx}{2b}}dx$$次の積分を \(I(a)\) と置きます。(計算は別ページで行っています。詳細はこちらです。)$$I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax}{\sinh \frac{πx}{2b}}dx=\frac{π}{2}\cdot \frac{2b}{π}\tanh \left(\frac{πa}{2} \cdot \frac{2b}{π}\right)=b \tanh (ba)$$\(I(a)\) を \(a\) で微分すると$$I’(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \cos ax}{\sinh \frac{πx}{2b}}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で \(3\) 回微分すると$$I^{(3)}(a)=-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3\cos ax}{\sinh \frac{πx}{2b}}dx$$となるので、求める積分値は$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x(x^2+4b^2)\cos ax}{\sinh \frac{πx}{2b}}dx=-I^{(3)}(a)+4b^2I’(a)$$\(I^{(3)}(a)\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
&I’(a)=b^2 \{\cosh (ba)\}^{-2}\\
&\\
&I’’(a)=-2b^2 \{\cosh (ba)\}^{-3} \cdot b \sinh (ba)=-2b^3 \cdot \frac{\sinh (ba)}{\cosh^3 (ba)}\\
&\\
&I^{(3)}(a)=-2b^3 \cdot \frac{b \cosh (ba) \cosh^3 (ba)- \sinh (ba) \cdot 3 \cosh^2 (ba) \cdot b \sinh (ba)}{\cosh^6 (ba)}\\
&     =-2b^3 \cdot \frac{b \cosh^2 (ba) -3b \sinh^2 (ba)}{\cosh^4 (ba)}\\
&     =-2b^4 \cdot \frac{ \cosh^2 (ba) -3 \sinh^2 (ba)}{\cosh^4 (ba)}\\
&     =-2b^4 \cdot \frac{ 1- 2\sinh^2 (ba)}{\cosh^4 (ba)}\\
\end{alignat}よって
\begin{alignat}{2}
&-I^{(3)}(a)+4b^2I’(a)=2b^4 \cdot \frac{ 1- 2 \sinh^2 (ba)}{\cosh^4 (ba)}+4b^4 \cdot \frac{1}{\cosh^2 (ba)}\\
&                 =2b^4 \cdot \frac{1-2\sinh^2 (ba)+2 \cosh^2 (ba)}{\cosh^4 (ba)}=\frac{6b^4}{\cosh^4 (ba)}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x(x^2+4b^2)\cos ax}{\sinh \frac{πx}{2b}}dx=\frac{6b^4}{\cosh^4(ab)}$$

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