ヤングの不等式

\(\displaystyle p \gt 0, q \gt 0,  \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\) のとき
任意の正の数 \(a,b\) について \(\displaystyle \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q} \geq ab\) が成り立つ。
(等号成立: \(a^p=b^q\))



<準備> 下図のように\(x \geq 0\) で連続な関数\(f(x)\) が
     \(f(0)=0 , x \gt 0\) において \(f'(x) \gt 0\) を満たすとき、
      任意の正の数 \(a,b\) について 次の式が成立します。$$\displaystyle\int_0^a f(x)dx+\displaystyle\int_0^b f^{-1}(x)dx \geq ab $$     (等号成立は \(b=f(a)\) のとき)

等号成立するときの図を下に示します。

ではヤングの不等式を証明します。
\(\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\) を変形しておきます。\begin{alignat}{2}
&pq-p-q=0      p(q-1)-(q-1)=1\\
&(p-1)(q-1)=1    \frac{1}{p-1}=q-1
\end{alignat} \( y=f(x)=x^{p-1}\)と置きます。\((p \gt 1)\)
  \(f(x)\) の逆関数は \(x=y^{p-1}\), \(x^{\frac{1}{p-1}}=y\),
  \(x^{q-1}=y\), \(f^{-1}(x)=x^{q-1}\) となります。
  ここで \(f(x)\) は \(f(0)=0\), \(x \gt 0\) において \(f'(x) \gt 0\) を満たすから$$\displaystyle\int_0^a x^{p-1}dx+\displaystyle\int_0^b x^{q-1}dx \geq ab $$$$\left[\frac{1}{p}x^p\right]_0^a+\left[\frac{1}{q}x^q\right]_0^b \geq ab$$$$\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q} \geq ab $$等号成立条件は \(b=f(a)=a^{p-1} \) だから \(a^p=ab=b^{\frac{1}{p-1}}b=b^{q-1}b=b^q\)
よって \(a^p=b^q\) となります。

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