余弦関数のみを含む積分計算(2)

\begin{alignat}{2}
&(9)  \displaystyle\int \frac{1}{1+cosax}dx=\frac{1}{a}tan\frac{ax}{2}\\
&(10) \displaystyle\int \frac{1}{1-cosax}dx=-\frac{1}{a}cot\frac{ax}{2}\\
&(11) \displaystyle\int \frac{x}{1+cosax}dx=\frac{x}{a}tan\frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}log\left|cos\frac{ax}{2}\right|\\
&(12) \displaystyle\int \frac{x}{1-cosax}dx=-\frac{x}{a}cot\frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}log\left|sin\frac{ax}{2}\right|\\
&(13) \displaystyle\int \frac{cosax}{1+cosax}dx=x-\frac{1}{a}tan\frac{ax}{2}\\
&(14) \displaystyle\int \frac{cosax}{1-cosax}dx=-x-\frac{1}{a}cot\frac{ax}{2}\\
&(15) \displaystyle\int cosaxcosbxd=\frac{sin(a+b)x}{2(a+b)}+\frac{sin(a-b)x}{2(a-b)} (a≠b)\\
&(16) \displaystyle\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2cos^2\frac{nπx}{a}dx=\frac{a^3(n^2π^2-6)}{24n^2π^2} (n=1,3,5, \cdots)
\end{alignat}(ただし、積分定数は省略しています。)



<証明>
(9) \(\displaystyle tan\frac{ax}{2}=t\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{1+cosax}dx=\displaystyle\int \frac{1}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{a(1+t^2)}dt\\
&             =\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{2}{(1+t^2)+1-t^2}dt=\frac{1}{a}\displaystyle\int dt\\
&             =\frac{t}{a}=\frac{1}{a}tan\frac{ax}{2}
\end{alignat}



(10) (9)と同様です。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{1-cosax}dx=\displaystyle\int \frac{1}{1-\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{a(1+t^2)}dt\\
&           =\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{2}{(1+t^2)-(1-t^2)}dt=\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{1}{t^2}dt\\
&           =-\frac{1}{at}=-\frac{1}{a}cot\frac{ax}{2}
\end{alignat}



(11) (9)を用いて部分積分です。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{x}{1+cosax}dx=\frac{x}{a}tan\frac{ax}{2}-\frac{1}{a}\displaystyle\int tan\frac{ax}{2}dx\\
&             =\frac{x}{a}tan\frac{ax}{2}-\frac{1}{a}\cdot \left(-\frac{2}{a}\right)log\left|cos\frac{ax}{2}\right|\\
&             =\frac{x}{a}tan\frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}log\left|cos\frac{ax}{2}\right|
\end{alignat}



(12) (10)を用いて部分積分です。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{x}{1-cosax}dx=-\frac{x}{a}cot\frac{ax}{2}+\frac{1}{a}\displaystyle\int tan\frac{ax}{2}dx\\
&             =-\frac{x}{a}cot\frac{ax}{2}+\frac{1}{a}\cdot \frac{2}{a}log\left|sin\frac{ax}{2}\right|\\
&             =-\frac{x}{a}cot\frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}log\left|sin\frac{ax}{2}\right|
\end{alignat}


(13) 分子に1を加えて引きます。(9)を用いて積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{cosax}{1+cosax}dx=\displaystyle\int \frac{1+cosax-1}{1+cosax}dx\\
&             =\displaystyle\int \left(1-\frac{1}{1+cosax}\right)dx=x-\frac{1}{a}tan\frac{ax}{2}
\end{alignat}




(14) マイナスを前に出して、分子に1を加えて引きます。
   (10)を用いて積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{cosax}{1-cosax}dx=-\displaystyle\int \frac{1-cosax-1}{1+cosax}dx\\
&             =-\displaystyle\int \left(1-\frac{1}{1-cosax}\right)dx=-x-\frac{1}{a}cot\frac{ax}{2}
\end{alignat}


(15) 積和の公式を用います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int cosaxcosbxdx=\frac{1}{2}\displaystyle\int \{cos(a+b)x+cos(a-b)x\}dx\\
&              =\frac{sin(a+b)x}{2(a+b)}+\frac{sin(a-b)x}{2(a-b)} (a≠b)
\end{alignat}



(10) 半角の公式で次数を下げて、部分積分です。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2cos^2\frac{nπx}{a}dx= 2\displaystyle\int_0^{\frac{a}{2}} x^2cos^2\frac{nπx}{a}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{a}{2}}x^2\left(1+cos\frac{2nπx}{a}\right)dx= \displaystyle\int_0^{\frac{a}{2}} x^2dx+ \displaystyle\int_0^{\frac{a}{2}} x^2cos\frac{2nπx}{a}dx\\
&=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^{\frac{a}{2}}+\left\{\left[\frac{ax^2}{2nπ}sin\frac{2nπx}{a}\right]_0^{\frac{a}{2}}-\displaystyle\int_0^{\frac{a}{2}} 2x\cdot \frac{a}{2nπ}sin\frac{2nπx}{a}dx\right\}\\
&=\frac{a^3}{24}-\frac{a}{nπ}\displaystyle\int_0^{\frac{a}{2}}xsin\frac{2nπx}{a}dx\\
&=\frac{a^3}{24}-\frac{a}{nπ}\left\{\left[-\frac{ax}{2nπ}cos\frac{2nπx}{a}\right]_0^{\frac{a}{2}}+\displaystyle\int_0^{\frac{a}{2}}\frac{a}{2nπ}cos\frac{2nπx}{a}dx\right\}\\
&=\frac{a^3}{24}-\frac{a}{nπ}\left(-\frac{a^2}{4nπ}cosnπ+\frac{a^2}{4n^2π^2}\left[sin\frac{2nπx}{a}\right]_0^{\frac{a}{2}}\right)\\
&=\frac{a^3}{24}+\frac{a^3}{4n^2π^2}(-1)^n  (n=1,3,5, \cdots)\\
&=\frac{a^3}{24}-\frac{a^3}{4n^2π^2}=\frac{a^3(n^2π^2-6)}{24n^2π^2}
\end{alignat}

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