余割関数のみを含む式の積分計算

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int \csc axdx=-\frac{1}{a} \log | \csc ax+ \cot ax|\\
&(2) \displaystyle\int \csc^n axdx=-\frac{ \csc^{n-2} ax \cot ax}{a(n-1)}+\frac{n-2}{n-1}\displaystyle\int \csc^{n-2} axdx (n≠1)\\
&(3) \displaystyle\int \csc^n xdx=-\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{a(n-1)}+\frac{n-2}{n-1}\displaystyle\int \csc^{n-2} xdx (n≠1)\\
&(4) \displaystyle\int \frac{1}{ \csc x+1}dx=x+\frac{2 \cos \frac{x}{2}}{ \sin \frac{x}{2}+ \cos \frac{x}{2}}\\
&(5) \displaystyle\int \frac{1}{ \csc x-1}dx=-x-\frac{2 \cos \frac{x}{2}}{ \sin \frac{x}{2}- \cos \frac{x}{2}}\\
\end{alignat} (積分定数は省略しています。)



<証明>  \((3)\) は \((2)\) において \(a=1\) とした式なので省略します。

\((1)\)  分子と分母に \( \sin ax\) を掛けて
  \( \cos ax=t\) と置きます。\(( -a \sin axdx=dt )\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \csc axdx= \displaystyle\int \frac{1}{ \sin ax}dx= \displaystyle\int \frac{ \sin ax}{ \sin^2 ax}dx= \displaystyle\int \frac{ \sin ax}{1- \cos^2 ax}dx\\
&         =-\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{1}{1-t^2}dt=\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{1}{t^2-1}dt\\
&         =\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{1}{(t-1)(t+1)}dt\\
&         =\frac{1}{2a}\displaystyle\int \left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)dt\\
&         =-\frac{1}{2a}\displaystyle\int \left(\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t-1}\right)dt\\
&         =-\frac{1}{2a}\left(\log |t+1|- \log |t-1|\right)\\
&         =-\frac{1}{2a} \log \left|\frac{t+1}{t-1}\right|=-\frac{1}{2a} \log \left|\frac{1+t}{1-t}\right|\\
&         =-\frac{1}{2a} \log \left|\frac{1+ \cos ax}{1- \cos ax}\right|=-\frac{1}{2a} \log \left|\frac{(1+ \cos ax)^2}{1- \cos^2 ax}\right|\\
&         =-\frac{1}{2a} \log \left|\frac{(1+ \cos ax)^2}{ \sin^2 ax}\right|=-\frac{1}{a} \log \left|\frac{1+ \cos ax}{ \sin ax}\right|\\
&         =-\frac{1}{a} \log \left|\frac{1}{ \sin ax}+\frac{ \cos ax}{ \sin ax}\right|\\
&         =-\frac{1}{a} \log | \csc ax+ \cot ax|
\end{alignat}






\((2)\) \( \csc^2 ax\) を \(\displaystyle -\frac{1}{a}( \cot ax)’\) と見て部分積分です。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \csc^n axdx=\displaystyle\int \csc^{n-2} ax \csc^2 axdx\\
&=-\frac{1}{a}\displaystyle\int \csc^{n-2} ax( \cot ax)’dx\\
&=-\frac{1}{a}\left\{ \csc^{n-2} ax \cot ax-\displaystyle\int (n-2) \csc^{n-3} ax \cdot \left(-\frac{a \cos ax}{ \sin^2 ax}\right) \cdot \cot axdx\right\}\\
&=-\frac{1}{a}\left\{ \csc^{n-2} ax \cos ax+a(n-2)\displaystyle\int \csc^{n-2} ax \cot^2 axdx\right\}\\
&=-\frac{1}{a}\left\{ \csc^{n-2} ax \cot ax+a(n-2)\displaystyle\int \csc^{n-2} ax\left(\frac{1}{ \sin^2 ax}-1\right)dx\right\}\\
&=-\frac{1}{a}\left\{ \csc^{n-2} ax \cot ax+a(n-2)\displaystyle\int \csc^{n-2} ax( \csc^2 ax-1)dx\right\}\\
&=-\frac{1}{a}\left\{ \csc^{n-2} ax \cot ax+a(n-2)\displaystyle\int \csc^n axdx-a(n-2)\displaystyle\int \csc^{n-2} axdx\right\}\\
&=-\frac{ \csc^{n-2} ax \cot ax}{a}-(n-2)\displaystyle\int \csc^n axdx+(n-2)\displaystyle\int \csc^{n-2} axdx
\end{alignat}真ん中の項に求める積分が現れているので、
これを左辺に移項します。
\begin{alignat}{2}
&(n-1)\displaystyle\int \csc^n axdx =-\frac{ \csc^{n-2} ax \cot ax}{a}+(n-2)\displaystyle\int \csc^{n-2} axdx\\
&      \displaystyle\int \csc^n axdx=-\frac{ \csc^{n-2} ax \cot ax}{a(n-1)}+\frac{n-2}{n-1}\displaystyle\int \csc^{n-2} axdx
\end{alignat}







\((4)\) 分子に1を加えて引いて、分数を切り離します。
   そして \(\displaystyle \tan \frac{x}{2}=t\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{ \csc x+1}dx=\displaystyle\int \frac{ \sin x}{1+ \sin x}dx= \displaystyle\int \frac{(1+ \sin x)-1}{1+ \sin x}dx\\
&            =\displaystyle\int \left(1-\frac{1}{1+ \sin x}\right)dx\\
&            =x-\displaystyle\int \frac{1}{1+\frac{2t}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2}dt\\
&            =x-\displaystyle\int \frac{2}{1+t^2+2t}dt\\
&            =x-\displaystyle\int\frac{2}{(t+1)^2}dt\\
&            =x+\frac{2}{t+1}=x+\frac{2}{ \tan \frac{x}{2}+1}
\end{alignat} $$ \displaystyle\int \frac{1}{ \csc x+1}dx=x+\frac{2 \cos \frac{x}{2}}{ \sin \frac{x}{2}+ \cos \frac{x}{2}} $$
  






\((5)\) 分子に1を加えて引いて、分数を切り離します。
   そして \(\displaystyle \tan \frac{x}{2}=t\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{ \csc x-1}dx=\displaystyle\int \frac{ \sin x}{1- \sin x}dx= -\displaystyle\int \frac{(1+ \sin x)-1}{1+ \sin x}dx\\
&            =-\displaystyle\int \left(1-\frac{1}{1- \sin x}\right)dx\\
&            =-x+\displaystyle\int \frac{1}{1-\frac{2t}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2}dt\\
&            =-x+\displaystyle\int \frac{2}{1+t^2-2t}dt\\
&            =-x+\displaystyle\int\frac{2}{(t-1)^2}dt\\
&            =-x-\frac{2}{t-1}=x-\frac{2}{ \tan \frac{x}{2}-1}
\end{alignat} $$ \displaystyle\int \frac{1}{ \csc x-1}dx=-x-\frac{2 \cos \frac{x}{2}}{ \sin \frac{x}{2}- \cos \frac{x}{2}} $$

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