ゼータ関数 : オイラー積表示

$$ ζ(s)=\displaystyle\prod_{p}^{} \frac{1}{1-p^{-s}}
  (p:素数, s \in\mathbb{C} ) $$                       を証明します。




ゼータ関数の定義式より$$ ζ(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \tag{$1$} $$
(1)の式の両辺に\(\frac{1}{2^s}\)を掛けると$$ \frac{ζ(s)}{2^s}=\frac{1}{2^s}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^s} \tag{$2$} $$ (1)の式から(2)の式を引くと $$ ζ(s)-\frac{ζ(s)}{2^s}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^s} $$

\begin{alignat}{3}
ζ(s)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}+\cdots \\
\cdots-\left(\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\cdots\right) \\
\end{alignat}

$$ ζ(s)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)=\displaystyle\sum_{n=1,n≠2k}^{\infty}\frac{1}{n^s}   (k \in\mathbb{N}) \tag{$3$} $$ (3)の式の両辺に\(\frac{1}{3^s}\)を掛けると $$ζ(s)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\frac{1}{3^s}=\displaystyle\sum_{n=1,n≠2k}^{\infty}\frac{1}{n^s} \tag{$4$} $$ (3)の式から(4)の式を引くと $$ζ(s)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)= \displaystyle\sum_{n=1,n≠2k,n≠3k}^{\infty}\frac{1}{n^s} $$ 同様に \(\frac{1}{(素数)^s}\) を掛けて前の式から引くことを繰り返すと $$ζ(s)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right) \left(1-\frac{1}{5^s}\right) = \displaystyle\sum_{n=1,n≠2k,n≠3k,n≠5k}^{\infty}\frac{1}{n^s} $$ $$ \cdots $$ 右辺はあらゆる素数の倍数が除かれるので1となります。 $$ζ(s)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right) \left(1-\frac{1}{7^s}\right)\cdots=1 $$ $$ζ(s)(1-2^{-s}) (1-3^{-s})(1-5^{-s})(1-7^{-s})\cdots =1 $$ $$ ζ(s)=\frac{1}{1-2^{-s}}\frac{1}{1-3^{-s}}\frac{1}{1-5^{-s}}\frac{1}{1-7^{-s}}\cdots $$
$$ ζ(s)=\displaystyle\prod_{p}^{} \frac{1}{1-p^{-s}}    (p:素数, s \in\mathbb{C} ) $$ が得られます。





<因数分解による方法>
ゼータ関数の定義式より$$ ζ(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \tag{$1$}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}+ \cdots $$ ここで右辺を因数分解すると $$ζ(s)=\left(1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{2^{2s}}+\frac{1}{2^{3s}}+\cdots\right)\left(1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{3^{2s}}+\frac{1}{3^{3s}}+\cdots\right) $$ $$\times\left(1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{5^{2s}}+\frac{1}{5^{3s}}+\cdots\right)\times\cdots $$ $$ζ(s)=\displaystyle\prod_{p}^{}\left(1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{3s}}+\cdots\right) $$ ここで右辺の括弧の中を初項 \( 1 \) 、公比 \(p^{-s}\)とすれば ( ただし\(| p^{-s}| \lt 1\) とした。) 
$$ ζ(s)=\displaystyle\prod_{p}^{} \frac{1}{1-p^{-s}}  (p:素数, s \in\mathbb{C} ) $$

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