ゼータ関数を表す式

\begin{alignat}{2}
&(1) ζ(s)=\frac{1}{Γ(s)}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{u^{s-1}}{e^u-1} du\\
&(2) ζ(s)= \frac{1}{sΓ(s)}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{u^se^u}{(e^u-1)^2}du\\
&(3) ζ(s)=\frac{2^{s-1}}{sΓ(s)(2^{s-1}-1)}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{u^se^u}{(e^u+1)^2}du
\end{alignat}



<証明>
(1) 下記の式において \(\displaystyle \frac{1}{e^u-1}\) を級数で表します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{u^s}{e^u-1}du=\displaystyle\int_0^{\infty} u^s \cdot \frac{e^{-u}}{1-e^{-u}}du\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} u^s(e^{-u}+e^{-2u}+e^{-3u}+ \cdots)du  (u \gt 0 , 0 \lt e^{-u} \lt 1) \\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} u^se^{-u}du+\displaystyle\int_0^{\infty} u^se^{-2u}+\displaystyle\int_0^{\infty} u^se^{-3u}du+ \cdots \\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\int_0^{\infty} u^se^{-nu}du  ( nu=t , ndu=dt )\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{t}{n}\right)^se^{-t}\frac{1}{n}dt \\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s+1}}\displaystyle\int_0^{\infty} t^{(s+1)-1}e^{-t}dt=ζ(s+1)Γ(s+1)
\end{alignat}$$ ζ(s+1)Γ(s+1)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{u^s}{e^u-1}du$$\(s+1\) を \(s\) に書き換えて、両辺 \(Γ(s)\) で割ります。$$ζ(s)=\frac{1}{Γ(s)}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{u^{s-1}}{e^u-1}du$$



(2) 下記の式において \(\displaystyle -\frac{e^u}{(e^u-1)^2}=\left(\frac{1}{e^u-1}\right)’ \) と変形して部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{u^se^u}{(e^u-1)^2}du=-\displaystyle\int_0^{\infty} u^s\left\{-\frac{e^u}{(e^u-1)^2}\right\}du=- \displaystyle\int_0^{\infty} u^s\left(\frac{1}{e^u-1}\right)’du\\
&=-\left[u^s \cdot \frac{1}{e^u-1}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} su^{s-1} \cdot \frac{1}{e^u-1}du\\
&=s\displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1} \cdot \frac{e^{-u}}{1-e^{-u}}du
\end{alignat} \(\displaystyle \frac{e^{-u}}{1-e^{-u}}\) を級数で表します。 \((u \gt 0 , 0 \lt e^{-u} \lt 1) \)
\begin{alignat}{2}
&=s\displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1}(e^{-u}+e^{-2u}+e^{-3u}+ \cdots)du\\
&=s\left(\displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1}e^{-u}du+ \displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1}e^{-2u}du+\displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1}e^{-3u}+ \cdots \right)du\\
&=s\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\int_0^{\infty}u^{s-1}e^{-nu}du   ( nu=t , ndu=dt )\\
&=s\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{t}{n}\right)^{s-1}e^{-t}\frac{1}{n}dt \\
&=s\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \displaystyle\int_0^{\infty} t^{s-1}e^{-t}dt=sζ(s)Γ(s)
\end{alignat} 両辺を \(sΓ(s)\) で割ります。$$ ζ(s)= \frac{1}{sΓ(s)}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{u^se^u}{(e^u-1)^2}du$$



(3) 下記の式において \(\displaystyle -\frac{e^u}{(e^u+1)^2}=\left(\frac{1}{e^u+1}\right)’ \) と変形して部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{u^se^u}{(e^u+1)^2}du=-\displaystyle\int_0^{\infty} u^s\left\{-\frac{e^u}{(e^u+1)^2}\right\}du\\
&=-\displaystyle\int_0^{\infty} u^s\left(\frac{1}{e^u+1}\right)’du \\
&=-\left[u^s \cdot \frac{1}{e^u+1}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty}su^{s-1}\frac{1}{e^u+1}du\\
&=s\displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1}\frac{e^{-u}}{1+e^{-u}}du
\end{alignat} \(\displaystyle \frac{e^{-u}}{1+e^{-u}}\) を級数で表します。 \((u \gt 0 , -1 \lt -e^{-u} \lt 0) \)
\begin{alignat}{2}
&=s\displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1}(e^{-u}-e^{-2u}+e^{-3u}- \cdots)du\\
&=s\left(\displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1}e^{-u}du- \displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1}e^{-2u}du+\displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1}e^{-3u}du- \cdots \right)\\
&=s\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1}e^{-nu}du  ( nu=t , ndu=dt ) \\
&=s\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{t}{n}\right)^{s-1}e^{-t}\frac{1}{n}dt\\
&=s\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s} \displaystyle\int_0^{\infty} t^{s-1}e^{-t}dt\\
&=sΓ(s)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}\\
&=sΓ(s)\left(\frac{1}{1^s}-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\frac{1}{4^s}+ \cdots \right)\\
&=sΓ(s)\left\{\left(\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+ \cdots \right)-2\left(\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\cdots \right) \right\}\\
&=sΓ(s)\left\{ζ(s)-\frac{2}{2^s}\left(\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots \right)\right\} \\
&=sΓ(s)\left\{ζ(s)-\frac{1}{2^{s-1}}ζ(s)\right\}\\
&=sΓ(s)\left(1-\frac{1}{2^{s-1}}\right)ζ(s)=sΓ(s)\frac{2^{s-1}-1}{2^{s-1}}ζ(s)
\end{alignat} $$sΓ(s)\frac{2^{s-1}-1}{2^{s-1}}ζ(s)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{u^se^u}{(e^u+1)^2}du$$ 両辺を \(\displaystyle sΓ(s)\frac{2^{s-1}-1}{2^{s-1}}\) で割ります。$$ζ(s)=\frac{2^{s-1}}{sΓ(s)(2^{s-1}-1)}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{u^se^u}{(e^u+1)^2}du$$



(1)の別証明です。ガンマ関数の文字を置き換えます。
$$Γ(s)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^{s-1}e^{-t}dt$$\(t=au\) と置きます。\(( dt=adu )\)
\begin{alignat}{2}
&Γ(s)=\displaystyle\int_0^{\infty} (au)^{s-1}e^{-au}adu=a^s\displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1}e^{-au}du\\
&Γ(s) \cdot \frac{1}{a^s}=\displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1}e^{-au}du
\end{alignat}両辺 \(a=1\) から ∞ まで和を取ります。
\begin{alignat}{2}
&Γ(s) \displaystyle\sum_{a=1}^{\infty} \frac{1}{a^s}=\displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1} \displaystyle\sum_{a=1}^{\infty} e^{-au}du \\
&Γ(s)ζ(s)=\displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1} \left(\frac{e^{-u}}{1-e^{-u}}\right)du= \displaystyle\int_0^{\infty} u^{s-1} \cdot \frac{1}{e^u-1}du
\end{alignat} $$ ζ(s)=\frac{1}{Γ(s)}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{u^{s-1}}{e^u-1} du $$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です