ζ(2)の値

$$ζ(2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+ \cdots=\frac{π^2}{6}$$










<証明>

\((1)\) \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2 ( -π \leq x \leq π )\) をフーリエ級数展開します。

\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2 \) は偶関数なので、フーリエ級数展開すれば$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_k \cos kx$$と表すことができるので、\(a_0\) と \(a_k\) を求めます。\(\left(\displaystyle a_k=\frac{2}{π}\displaystyle\int_0^π f(x) \cos kxdx \right)\) 
\begin{alignat}{2}
a_0&=\frac{2}{π}\displaystyle\int_0^π \frac{1}{2}x^2dx=\frac{1}{π}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^π=\frac{π^2}{3}\\
a_k&=\frac{2}{π}\displaystyle\int_0^π \frac{1}{2}x^2 \cos kxdx=\frac{1}{π}\displaystyle\int_0^π x^2 \cos kxdx\\
&=\frac{1}{π}\left\{\left[\frac{x^2}{k}\sin kx\right]_0^π-\displaystyle\int_0^π \frac{2x}{k}\sin kxdx\right\} \\
&=-\frac{2}{kπ}\displaystyle\int_0^π x \sin kxdx\\
&=-\frac{2}{kπ}\left(\left[-\frac{x}{k}\cos kx\right]_0^π+\displaystyle\int_0^π \frac{1}{k} \cos kxdx\right)\\
&=-\frac{2}{kπ}\left(-\frac{π}{k} \cos kπ+\frac{1}{k^2}[ \sin kx]_0^π\right)=\frac{2(-1)^k}{k^2}
\end{alignat} 得られた \(a_0\) と \(a_k\) を代入します。$$f(x)=\frac{π^2}{6}+2\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^2} \cos kx$$この式において \(x=π\) とすれば$$f(π)=\frac{π^2}{6}+2\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2k}}{k^2}=\frac{π^2}{2}$$$$2\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{π^2}{3} ,   \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{π^2}{6} $$


\((2)\) \(\sin x\) のテイラー展開と無限積を恒等的に見ます。

  \( \sin x\) のテイラー展開は$$ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots $$\(x\) を \(πx\) に書き換えて$$\sin πx=πx-\frac{(πx)^3}{3!}+\frac{(πx)^5}{5!}-\frac{(πx)^7}{7!}+\frac{(πx)^9}{9!}-\cdots $$ 両辺を \(πx\) で割ります。$$\frac{ \sin πx}{πx}=1-\frac{π^2}{3!}x^2+\frac{π^4}{5!}x^4-\frac{π^6}{7!}x^6+\frac{π^8}{9!}x^8-\cdots$$ 一方、\(\sin x\) の無限積は$$\sin πx=πx\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)$$両辺を \(πx\) で割って無限積を展開します。\begin{alignat}{2}
\frac{\sin πx}{πx}&=\left(1-\frac{x^2}{1^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{2^2}\right) \left(1-\frac{x^2}{3^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4^2}\right)\cdots \\
&=1-\left(\frac{x^2}{1^2}+\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^2}{3^2}+\frac{x^2}{4^2}+\cdots \right)+\left(\frac{x^4}{1^2 \cdot 2^2}+\frac{x^4}{1^2 \cdot 3^2}+\frac{x^4}{2^2 \cdot 3^2}+\frac{x^4}{1^2 \cdot 4^2}+ \cdots\right)\\
&       -\left(\frac{x^6}{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2}+\frac{x^6}{1^2 \cdot 2^2 \cdot 4^2}+\frac{x^6}{1^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2}+ \cdots \right)+ \cdots\\
&=1-\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots \right)x^2+\left(\frac{1}{1^2 \cdot 2^2}+\frac{1}{1^2 \cdot 3^2}+\frac{1}{2^2 \cdot 3^2}+\frac{1}{1^2 \cdot 4^2}+ \cdots\right)x^4\\
&       -\left(\frac{1}{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2}+\frac{1}{1^2 \cdot 2^2 \cdot 4^2}+\frac{1}{1^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2}+ \cdots \right)x^6+ \cdots
\end{alignat} ここで \(x^2\) の係数を比較することで$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+ \cdots=\frac{π^2}{6}$$

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